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6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung

6.1 Bandpassfilter

Abb. 1: Beispiel: WLAN-Kanäle
elektronische_schaltungstechnik:wlan_kanaele.png

Bei der Analyse unterschiedlicher Signale ist nur ein Teil des gesamten Frequenzspektrums gewünscht. In Abbildung 1 sind als Beispiel die Kanäle des WLAN Standards 802.11 dargestellt; Diese werden abwechselnd zur Datenübertragung genutzt. Ein weiteres Beispiel ergibt sich bei Schwingungsspektren eines Motors in einer Maschine, welche nicht nur die (zur Diagnose verwendbaren) Schwingungen enthält, sondern auch Störungen durch andere Maschinenteile. Andere Beispiele ist die kabelgebundene Datenübertragung oder die Bänder der Gehirnwellen.

Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (Frequenzband) durchlässt. Dies ist mit einem Bandpassfilter möglich.

Abb. 3: Blockschaltbild Bandpass
elektronische_schaltungstechnik:blockschaltbild_bandpass.png

Zusammensetzen des Bandpass Filter

Dieses Filter lässt sich über durch grundlegenden Tief- und Hochpassfilter zusammensetzen. Wird zunächst der Signal durch einen Tiefpass und anschließend durch einen Hochpass gefiltert, so entsteht das gewünschte Filter. Die Reihenfolge der Filter kann vertauscht werden. Abbildung 3 zeigt dies im Blockschaltbild - dabei ist in (1) ein häufig genutzte und in (2) mit den nach EN 60617 zu verwendenden Schaltzeichen. Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion $\underline{A}_{BP}$ des Bandpasses einfach aus der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$, da das Signal nacheinander durch die Filterstufen läuft:

$$\underline{A}_{BP}= {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_1}} \cdot {{\underline{U}_1}\over{\underline{U}_E}} = \underline{A}_{TP} \cdot \underline{A}_{HP}$$

Abb. 4: Amplitudengang Bandpass
elektronische_schaltungstechnik:amplitudengang_bandpass.png

Amplitudengang des Bandpass Filter

In Abbildung 4 ist der Amplitudengang des Bandpassfilter zu sehen. Da im Amplitudengang die Übertragungsfunktion in $dB$ ($\underline{A}^{dB}$) dargestellt wird, ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$ eine Addition von $\underline{A}_{TP}^{dB}$ und $\underline{A}_{HP}^{dB}$. Im Amplitudengang ist zu sehen, dass es zweimal eine Änderung um $20 dB/Dek$ ergibt: einmal bei $f_{Gr,HP}$ und einmal bei $f_{Gr,TP}$. Das Filter hat also eine Ordnung von 2.

Wichtig dabei: Die Grenzfrequenz des Tiefpassfiter $f_{Gr,TP}$ muss größer sein, als die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $f_{Gr,HP}$ (siehe Abbildung 4).

Wie sieht aber nun der Frequenzgang aus? Dies soll im Folgenden hergeleitet werden.

Abb. 5: Schaltung des Bandpassfilter auf Basis des invertierenden Verstärkers
elektronische_schaltungstechnik:schaltung_bandpassfilter_invertierender_verstaerker.png

Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers

Realisation

Aus Kapitel 5 sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in Abbildung 5 dargestellte Schaltung ableiten. Diese soll etwas näher betrachtet werden.

Die Extremalwertbetrachtung ergibt:

  • für $ \omega \rightarrow 0 $:
    Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß
    und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$
    Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$.
    $\rightarrow$ Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.
  • für $ \omega \rightarrow \infty $:
    Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein
    und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$
    Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$.
    $\rightarrow$ Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.
komplexwertige Betrachtung

Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden:

$\underline{A}_V = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = - {{\underline{Z}_2}\over{\underline{Z}_1}} = - {\underline{Z}_2}\cdot {1\over{\underline{Z}_1}} = - \Large{{{R_2\cdot {1\over{j\omega C_2}}}\over{{R_2 + {1\over{j\omega C_2}}}}}}\cdot{1 \over{{R_1 + {1\over{j\omega C_1}}}}}= - \Large{{{R_2}\over{{j\omega C_2 R_2 + 1}}}}\cdot{j\omega C_1 \over{{j\omega C_1 R_1 + 1}}} \Bigg| {{\cdot R_1}\over{\cdot R_1}}$

$\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$

Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen:

  1. $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht dem invertierenden Verstärker
  2. $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht dem Tiefpass 1. Ordnung
  3. $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: : Dies entspricht dem Hochpass 1. Ordnung

Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion:

  • für $ \omega \rightarrow 0 $:
    $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$
    Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators

  • für $ \omega \rightarrow \infty $:
    $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$
    Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators

Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $.

Damit ergibt sich $|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}}$

Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden.

Die erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden.

$\underline{A}_V = - \color{blue}\large{R_2 \over R_1 } $ $\cdot \large\color{teal }{ 1 \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$ $\cdot \large\color{teal }{{1- j\omega \cdot C_2 R_2} \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1- j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$ $\cdot \large\color{brown}{{ j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ pink }{\boxed{\color{brown}{\small{1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$ $\cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ pink }{\boxed{\color{brown}{\small{1- j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$

$\underline{A}_V = \mathcal{C} $ $\cdot \large\color{teal }{1- j\omega \cdot C_2 R_2}$ $\cdot \large\color{brown}{ j\omega \cdot C_1 R_1}$ $\cdot \large\color{brown}{1- j\omega \cdot C_1 R_1}$

Abb. 8: Bodediagramm Bandpass
elektronische_schaltungstechnik:bodediagramm_bandpass.png

6.2 Bandsperre

Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen können

beliebige periodische Signale

Abb. ##: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen

Im vorherigen Kapitel wurde bereits eine sinusförmige Eingangsspannung zur Analyse herangezogen. Wie wirken die Filter Hier soll nun nochmals kurz ein Fokus darauf gelegt werden.

In Abbildung ## ist zu sehen, dass ein Rechtecksignal durch mehrere sinusförmige Signale angenähert werden kann. Werden von diesen Signalen die Amplituden über die Frequenz aufgetragen, so erhält man ein Abbild des Signals im Frequenzbereich. Diese Umwandlung geschieht rechnerisch über die Fouriertransformation und wird in weiterführenden Fächern, wie Regelungstechnik, Signale und Systeme und Digitale Signalverarbeitung ausführlich behandelt.

Für sehr schnelle Änderungen werden hochfrequente Anteile benötigt.

Bereits beim Umkehraddierer wurde ersichtlich, dass aus mehreren sinusförmigen Spannungen ein periodisches Sägezahnsignal zusammengesetzt werden kann.

Abb. 8: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen

Abb. 6: Annäherung an ein beliebiges Signal

Aus den Sinus

Das englische Video But what is a Fourier series? erklärt anschaulich, wie selbst Vektorbilder über die Überlagerung von Sinusfunktionen generiert werden können.

Von der Seite www.geogebra.org/m/zhvkeaa8, Autor: Tim Fischer.

Hausarbeiten

Beispiel: Auswertung eines Infrarot-Sensors:

  • Vom Hersteller fehlen die Knoten in der Schaltung --> korrekte Schaltung ist zu zeichnen
  • welchen Grundschaltungen entspricht OPV 1 und 2? Welchen Filtenn entsprechen beide?

murata_beispiel_opv_schaltung.jpg

Referenzen

Referenzen zu den genutzten Medien
Element Lizenz Link
Abbildung ##: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen Public Domain https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif
Abbildung 8: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen CC-BY SA 3.0 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif
Abbildung 6: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen CC-BY SA 4.0 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Example_of_Fourier_Convergence.gif

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