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6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung

6.1 Bandpassfilter

Bei der Analyse unterschiedlicher Signale ist nur ein Teil des gesamten Frequenzspektrums gewünscht. In Abbildung 1 sind als Beispiel die Kanäle des WLAN Standards 802.11 dargestellt; Diese werden abwechselnd zur Datenübertragung genutzt. Ein weiteres Beispiel ergibt sich bei Schwingungsspektren eines Motors in einer Maschine, welche nicht nur die (zur Diagnose verwendbaren) Schwingungen enthält, sondern auch Störungen durch andere Maschinenteile. Andere Beispiele ist die kabelgebundene Datenübertragung oder die Bänder der Gehirnwellen.

Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (Frequenzband) durchlässt. Dies ist mit einem Bandpassfilter möglich.

Bereiche im Frequenzgang

Den Bereich zwischen den zwei Frequenzen nennt man Durchlassbereich, oder Bandbreite. Außerhalb des Durchlassbereichs fällt die Verstärkung ab. Ein reelles Filter kann nicht unendlich stark abschwächen. Auch gibt es verschiedene ideale Filtern, bei denen außerhalb des Durchlassbereichs nicht Verstärkung nicht gegen Null strebt, sondern nur ein Schwelle unterschreitet. Häufig wird der der abfallende Bereich Übergangsbereich genannt und der der Bereich unterhalb der Schwelle Sperrbereich. Die Schwelle selbst nennt man Sperrdämpfung. In Abbildung 2 sind die Bereiche eingezeichnet. Die Begriffe sind aber nicht eindeutig definiert; in verschiedenen Lehrbüchern wird bereits der Übergangsbereich als Sperrbereich bezeichnet.

Zusammensetzen des Bandpass Filter

Dieses Filter lässt sich über durch grundlegenden Tief- und Hochpassfilter zusammensetzen. Wird zunächst der Signal durch einen Tiefpass und anschließend durch einen Hochpass gefiltert, so entsteht das gewünschte Filter. Die Reihenfolge der Filter kann vertauscht werden. Abbildung 3 zeigt dies im Blockschaltbild - dabei ist in (1) ein häufig genutzte und in (2) mit den nach EN 60617 zu verwendenden Schaltzeichen. Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion $\underline{A}_{BP}$ des Bandpasses einfach aus der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$, da das Signal nacheinander durch die Filterstufen läuft:

$$\underline{A}_{BP}= {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_1}} \cdot {{\underline{U}_1}\over{\underline{U}_E}} = \underline{A}_{TP} \cdot \underline{A}_{HP}$$

Amplitudengang des Bandpass Filter

In Abbildung 4 ist der Amplitudengang des Bandpassfilter zu sehen. Da im Amplitudengang die Übertragungsfunktion in $dB$ ($\underline{A}^{dB}$) dargestellt wird, ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$ eine Addition von $\underline{A}_{TP}^{dB}$ und $\underline{A}_{HP}^{dB}$. Im Amplitudengang ist zu sehen, dass es zweimal eine Änderung um $20 dB/Dek$ ergibt: einmal bei $f_{Gr,HP}$ und einmal bei $f_{Gr,TP}$. Das Filter hat also eine Ordnung von 2.

Wichtig dabei: Die Grenzfrequenz des Tiefpassfiter $f_{Gr,TP}$ muss größer sein, als die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $f_{Gr,HP}$ (siehe Abbildung 4).

Wie sieht aber nun der Frequenzgang aus? Dies soll im Folgenden hergeleitet werden.

6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers

Realisation

Aus Kapitel 5 sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in Abbildung 5 dargestellte Schaltung ableiten. Diese soll etwas näher betrachtet werden.

Die Extremalwertbetrachtung ergibt:

• für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:
  Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß
  und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$
  Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$.
  $\rightarrow$ Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.
• für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:
  Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein
  und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$
  Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$.
  $\rightarrow$ Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.

komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion

uebertragungsfunktion1 Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden:

$\underline{A}_V = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = - {{\underline{Z}_2}\over{\underline{Z}_1}} = - {\underline{Z}_2}\cdot {1\over{\underline{Z}_1}} = - \Large{{{R_2\cdot {1\over{j\omega C_2}}}\over{{R_2 + {1\over{j\omega C_2}}}}}}\cdot{1 \over{{R_1 + {1\over{j\omega C_1}}}}}= - \Large{{{R_2}\over{{j\omega C_2 R_2 + 1}}}}\cdot{j\omega C_1 \over{{j\omega C_1 R_1 + 1}}} \Bigg| {{\cdot R_1}\over{\cdot R_1}}$

$\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$

Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen:

1. $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht einem invertierenden Verstärker
2. $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht einem Tiefpass 1. Ordnung mit einer Grenzfrequenz von $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}= {1 \over {C_2 R_2}}}$
3. $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht einem Hochpass 1. Ordnung mit einer Grenzfrequenz von $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}= {1 \over {C_1 R_1}}}$

Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion:

• für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0 } $:
  $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$
  Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators
  
  
• für $ \omega \rightarrow \infty $:
  $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$
  Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators

Ermittlung von Betrag und Phase aus der komplexwertigen Betrachtung

Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $.
Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$:
$ |\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}} $ $\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}, \ \ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ $\boxed{|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 / \color{teal}{\omega_{Gr, TP}^2}}} \cdot \large{{\omega / \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}} \over \sqrt{1+ \omega^2 \color{brown} / {\omega_{Gr, HP}}^2}}}$

Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden.
Dies erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden.

$\underline{A}_V = - \color{blue}\large{R_2 \over R_1 } $ $\cdot \large\color{teal }{ 1 \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$ $\cdot \large\color{teal }{{1- j\omega \cdot C_2 R_2} \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1- j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$ $\cdot \large\color{brown}{{ j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ pink }{\boxed{\color{brown}{\small{1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$ $\cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ pink }{\boxed{\color{brown}{\small{1- j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$

$\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$ $ \cdot \color{teal }{(1- j\omega \cdot C_2 R_2)}$ $\ \cdot \ \color{brown}{ j\omega \cdot C_1 R_1 }$ $\ \cdot \ \color{brown}{(1- j\omega \cdot C_1 R_1)}$

$\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$ $ \cdot (j + \omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1 - j \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2)$

Aus dieser Gleichung lassen sich einfach die Anteile für Realteil $\Re(\underline{A}_V)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)$ ablesen.
Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ :

$ \varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{1 - \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2}{\omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1} \right)$ $\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}, \ \ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ $\boxed{\varphi = arctan \left( \frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \omega^2 }{\omega (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)}$

Die Formal für für die Phase $\varphi$ sagt Die Extremalwertbetrachtung kann nun für einige markante Frequenzen geführt werden:

• für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:
  $\varphi(0) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - \omega^2}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - "0"}{"0"} \right) = arctan \left( "+\infty" \right)$
  
  
• für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:
  $\varphi(\infty) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - \omega^2}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - "\infty"^2}{"\infty"} \right) = arctan \left( "-\infty" \right)$
  
  
• für eine (Kreis)Frequenz $\boldsymbol{\omega= \omega_0}$ für die das Argument der $\boldsymbol{arctan}$-Funktion Null wird.
  Damit wird die Phase:
  $\varphi(\omega_0) = arctan \left( 0 \right)$.
  Die entsprechende Frequenz ergibt sich zu:
  $\large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \omega^2 }{\omega (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} = 0 \quad\rightarrow\quad \omega_0^2 = \color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \quad\rightarrow\quad \omega_0 = \large\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$
  
  
• für die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{brown}{\omega_{Gr, HP} = {1 \over {R_1 C_1}}}}$.
  Hierfür kann bei hinreichend großem Durchlassbereich $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \ll \color{teal}\omega_{Gr, TP}$ angenommen werden.
  Damit ergibt sich:
  $\varphi(\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}^2 }{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} - \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} }{ (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) \xrightarrow{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \ll \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}} \varphi(\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}) = arctan (1)$
  
  
• für die Grenzfrequenz des Tiefpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{teal}{\omega_{Gr, TP} = {1 \over {R_2 C_2}}}}$.
  Hierfür kann bei hinreichend großem Durchlassbereich $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$ angenommen werden.
  Damit ergibt sich:
  $\varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}^2 }{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) = arctan \left( \large\frac{ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}}{ (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) \xrightarrow{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}} \varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan (-1)$

Es ergibt sich damit für einzelne Punkte:

Die Ergebnisse scheinen auch mit dem Verlauf des Arcus Tangens plausibel zu sein (rote Kurve in Abbildung 6): Für niedrige Frequenzen geht das Argument des Arcus Tangens gegen $+\infty$ und damit scheint die Phase $\varphi$ gegen $+90°$ zu gehen, für hohe Frequenzen gegen $-90°$.

ABER: Betrachtet man den Phasenverlauf in der Simulation unten, zeigt sich eher ein Verlauf, der mit der schwarzen Linie einhergeht.

Damit lässt sich das Bodediagramm ermitteln.

6.2 Bandsperre

Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen können

Hausarbeiten

Beispiel: Auswertung eines Infrarot-Sensors:

• Vom Hersteller fehlen die Knoten in der Schaltung --> korrekte Schaltung ist zu zeichnen
• welchen Grundschaltungen entspricht OPV 1 und 2? Welchen Filtenn entsprechen beide?

Referenzen

Referenzen zu den genutzten Medien

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Abbildung ##: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen	Public Domain	https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif
Abbildung 8: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen	CC-BY SA 3.0	https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif
Abbildung 6: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen	CC-BY SA 4.0	https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Example_of_Fourier_Convergence.gif

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