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--- elektronische_schaltungstechnik:block02 [2026/09/27 23:16] – mexleadmin
+++ elektronische_schaltungstechnik:block02 [2026/09/27 23:38] (current) – mexleadmin
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 Als Testsignal eignet sich besonders eine sinusförmige Spannung
-$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$.
+$$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$$
-Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern:
+Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. \\
+Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern:
-$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$.
+$$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$$
 Damit reichen zwei Größen aus, um die Wirkung der Schaltung bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben:
@@ Line 116: / Line 117: @@
 </WRAP>
-=== Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz ===
+=== Refresh: Frequenz, Periodendauer, Phase ===
-Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$.
+Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$. Die **Kreisfrequenz** lautet $\omega=2\pi f$.
-Die Kreisfrequenz lautet $\omega=2\pi f$.
 Damit entspricht beispielsweise eine Frequenz von $f=1~\mathrm{kHz}$ einer Periodendauer von $T=1~\mathrm{ms}$ und einer Kreisfrequenz von ungefähr $\omega=6283~\mathrm{rad/s}$.
@@ Line 126: / Line 125: @@
 In Datenblättern, Simulationen und Bode-Diagrammen wird meist die Frequenz $f$ in $\mathrm{Hz}$ verwendet. In Gleichungen ist dagegen häufig $\omega$ zu finden.
-=== Phase als Zeitverschiebung ===
+Die Phase kann auch aus einer **Zeitverschiebung** zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.\\
-Die Phase kann auch aus einer Zeitverschiebung zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.
 Eine vollständige Periodendauer $T$ entspricht $360^\circ$. Für eine Zeitverschiebung $\Delta t$ gilt daher
-$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$.
+$$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$$
 Je nach Richtung der Verschiebung wird die Phase positiv oder negativ angegeben.
@@ Line 142: / Line 138: @@
 Das Spannungsübertragungsverhältnis einer Schaltung wird mit
-$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$
+$$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$$
 beschrieben.
@@ Line 150: / Line 146: @@
 Für eine frequenzabhängige Schaltung ist $A_{\rm V}$ jedoch keine einzelne Zahl mehr:
-$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$.
+$$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$$
 Zusätzlich kann zwischen Ein- und Ausgang eine Phasenverschiebung entstehen. Vollständig wird die Übertragung deshalb durch eine komplexe Größe beschrieben:
-$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$.
+$$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$$
 Für die praktische Betrachtung wird diese komplexe Größe in Betrag und Phase zerlegt:
@@ Line 165: / Line 161: @@
 ==== 2.1.3 Die dB-Skala ====
-Um frequenzabhängige Schaltungen zu untersuchen, müssen häufig sehr große oder sehr kleine Zahlenverhältnisse dargestellt werden. Ein typisches Beispiel ist das Spannungsübertragungsverhältnis
+Die Dezibel-Skala ist eine Hilfsdarstellung, welche die Arbeit mit Verhältnissen vereinfacht, beispielsweise mit dem Verhältnis $U_2/U_1$.
-$A_{\rm V}={{U_{\rm O}}\over{U_{\rm I}}}$.
+Solche Verhältnisse werden in der Technik auch als **Pegel** bezeichnet. Durch die Angabe eines Pegels kann eine Größe auf eine Referenzgröße bezogen werden.
-Solche Verhältnisse werden in der Technik häufig auch als **Pegel** angegeben. Eine besonders praktische logarithmische Darstellung ist die Einheit **Dezibel (dB)**.
+In elektronischen Schaltungen wird Dezibel häufig für Strom- oder Spannungsverhältnisse verwendet. Für diesen Kurs wird dies insbesondere für die Spannungsverstärkung
-Für Spannungs- und Stromverhältnisse gilt:
+$$A_{\rm V} = \frac{U_\rm O}{U_\rm I}$$
-$A_{\rm V}^{\rm dB}=20~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}\left({U_{\rm O}\over U_{\rm I}}\right)
+und allgemein für Übertragungsfaktoren wichtig.
-=20~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}(A_{\rm V})$
-bzw.
+Die Umrechnung eines Spannungs- bzw. Stromverhältnisses in einen Pegel in $\rm dB$ ist definiert durch:
-$A_{\rm I}^{\rm dB}=20~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}\left({I_2\over I_1}\right)$.
+$\boxed{A_{\rm V}^{\rm dB}=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{U_2}{U_1}\right)=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10} A_\rm V}$(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)  bzw. (nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp) $A_{\rm C}^{\rm dB}=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)$
-<WRAP center round info 80%>
-Eine Angabe in $\mathrm{dB}$ beschreibt zunächst **ein Verhältnis**.
-$0~\mathrm{dB}$ bedeutet dabei nicht „kein Signal“, sondern ein Verhältnis von $1$.
+=== Technische Pegelangaben in dB ===
-</WRAP>
-=== Technische Pegel in dB ===
+^ Bezeichnung                    ^ Symbol      ^ Formel                                      ^ Bezugswert für 0 dB       ^
+| Spannungspegel                 | $\rm dBV$   | $20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(V/V_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBV  \widehat{=} 1~V$        |
+| Leistungspegel                 | $\rm dBm$   | $10~{\rm dB} \cdot \log_{10}(P/P_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBm  \widehat{=} 1~mW$       |
+| Leistungspegel                 | $\rm dBW$   | $10~{\rm dB} \cdot \log_{10}(P/P_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBW  \widehat{=} 1~W$        |
+| Full-Scale-Pegel               | $\rm dBFS$  | $20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(V/V_{\rm max})$  | $\rm 0~dBFS  \widehat{=} V_{max}$  |
+| Schalldruckpegel               | $\rm dBA$   | $20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(p/p_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBA  \widehat{=} 20~µPa$    |
-Neben reinen Verhältnissen existieren auch Pegelangaben mit einem fest definierten Bezugswert.
+Beachten Sie, dass sich die Gleichung für **Leistungsgrößen**, also beispielsweise Verhältnisse von $P$, etwas verändert.
-^ Bezeichnung ^ Symbol ^ Definition ^ Bezugswert für $0~\mathrm{dB}$ ^
+Da $P \sim U^2$ bzw. $U \sim P^\frac{1}{2}$ gilt, ergibt sich:
-| Spannungspegel | $\mathrm{dBV}$ | $20\log_{10}(U/U_{\rm ref})$ | $1~\mathrm{V}$ |
-| Leistungspegel | $\mathrm{dBm}$ | $10\log_{10}(P/P_{\rm ref})$ | $1~\mathrm{mW}$ |
-| Leistungspegel | $\mathrm{dBW}$ | $10\log_{10}(P/P_{\rm ref})$ | $1~\mathrm{W}$ |
-Im Folgenden betrachten wir hauptsächlich Spannungsverhältnisse. Deshalb wird meist einfach die Einheit $\mathrm{dB}$ verwendet.
+$A_P^{\rm dB}=             20 ~{\rm dB} \cdot                    \log_{10}\left(\frac{P_2^\frac{1}{2}}{P_1^\frac{1}{2}}\right)$\\
+(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)
+$            =\color{blue}{20 ~{\rm dB} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)  =\color{blue}{10 ~{\rm dB}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) $
-=== Warum gilt bei Leistungen der Faktor 10? ===
+Die Tabelle oben zeigt verschiedene in der Technik gebräuchliche Pegelangaben. Im Folgenden wird hauptsächlich das Spannungsverhältnis betrachtet und der zugehörige Pegel vereinfacht mit der Einheit $\rm dB$ angegeben.
-Für Leistungsverhältnisse lautet die Definition
-$A_{\rm P}^{\rm dB}=10~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}\left({P_2\over P_1}\right)$.
+=== Einfache Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB ===
-Der Unterschied zum Faktor $20$ bei Spannungen lässt sich über $P\sim U^2$ erklären.
+^ linearer Faktor  ^ Pegel [$\rm dB$]  ^
+|$\times 0.01$   |$-40 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 0.1$    |$-20 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 1$      |$  0 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 2$      |$\approx +6~{\rm dB}$|
+|$\times 10$     |$+20 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 100$    |$+40 ~{\rm dB}$    |
-Setzt man $U\sim\sqrt P$ in die Definition für Spannungsverhältnisse ein, ergibt sich:
+Mit der oben angegebenen Gleichung können lineare Faktoren bzw. Verhältnisse $A = \boxed{}_2 / \boxed{}_1$ in einen Pegel $A^{\rm dB}$ in $\rm dB$ umgerechnet werden.
-$20\log_{10}\left(\sqrt{{P_2\over P_1}}\right)
+Gelegentlich wird der hochgestellte Index $\boxed{}^{\rm dB}$ weggelassen. Stattdessen erkennt man den Pegel an der Einheit $\rm dB$.
-=20\cdot{1\over2}\log_{10}\left({P_2\over P_1}\right)$
-und damit
+Beispiele:
-$A_{\rm P}^{\rm dB}=10\log_{10}\left({P_2\over P_1}\right)$.
+  - Für $A_{\rm V}= \color{green}{1} $ ergibt sich <WRAP>
+$ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1}) = 20 {\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{1}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1})} \quad = 20 {\rm dB} \cdot 0 \quad \ \boldsymbol{= 0 {\rm dB}}$ \\
+Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{1}$ gilt, also $\color{blue}{x}=0$. </WRAP> \\  \\
-=== Einfache Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB ===
+  - Für $A_{\rm V}= \color{green}{0.01} $ ergibt sich <WRAP>
+$ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{0.01}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01})} = 20 ~{\rm dB} \cdot (-2) \boldsymbol{= -40 ~{\rm dB}}$ \\
+Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{0.01}$ gilt, also $\color{blue}{x}=-2$. </WRAP>   \\  \\
-Einige Werte treten in der Elektronik so häufig auf, dass sie ohne Taschenrechner erkannt werden sollten:
+  - Für $A_{\rm V}= \color{green}{2} $ ergibt sich <WRAP>
+$ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{2}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2})} \quad\approx 20 ~{\rm dB} \cdot 0.30103 \boldsymbol{\approx 6 ~{\rm dB}}$ \\
+Hier besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{2}$ gilt. Damit ist $\color{blue}{x}\approx 0.30103$. </WRAP> \\  \\
-^ linearer Faktor ^ Pegel ^
-| $\times0.01$ | $-40~\mathrm{dB}$ |
-| $\times0.1$ | $-20~\mathrm{dB}$ |
-| $\times1$ | $0~\mathrm{dB}$ |
-| $\times2$ | ungefähr $+6~\mathrm{dB}$ |
-| $\times10$ | $+20~\mathrm{dB}$ |
-| $\times100$ | $+40~\mathrm{dB}$ |
-Betrachten wir einige Beispiele genauer.
+=== Nutzen der dB-Darstellung ===
-Für $A_{\rm V}=1$ gilt:
+Dezibel besitzt einige Vorteile, die insbesondere bei den später betrachteten frequenzabhängigen Schaltungen hilfreich sind:
-$A_{\rm V}^{\rm dB}=20\log_{10}(1)=0~\mathrm{dB}$.
+  * **Handlichere Zahlenwerte:** Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, entstehen in der dB-Darstellung meist deutlich kompaktere Zahlen. Beispiel: $A_{\rm V} = 10000000 \rightarrow A_{\rm V}^{\rm dB}= 140~{\rm dB}$. Das reduziert insbesondere das fehleranfällige „Nullenzählen“.
-Für $A_{\rm V}=0.01$ gilt:
+  * **Logarithmische Wahrnehmung:** Viele menschliche Sinneswahrnehmungen, beispielsweise Lautstärke oder Helligkeit, reagieren näherungsweise logarithmisch auf physikalische Größen.
-$A_{\rm V}^{\rm dB}=20\log_{10}(0.01)
+  * **Einfachere Rechnung:** Durch den Logarithmus wird eine Multiplikation linearer Faktoren zu einer Addition der Pegel:
-=20\cdot(-2)
-=-40~\mathrm{dB}$.
-Für $A_{\rm V}=2$ gilt näherungsweise:
+$A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1) + 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_2) = A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1) + A_{\rm V}^{\rm dB}(A_2)$
-$A_{\rm V}^{\rm dB}=20\log_{10}(2)\approx6~\mathrm{dB}$.
-<WRAP center round important 80%>
+<WRAP>
-Für Spannungsverhältnisse sollte man sich insbesondere merken:
+<imgcaption BildNr20 | Beispiel: hintereinandergeschaltete Übertragungsstufen>
+</imgcaption>
-  * Faktor $10$ $\rightarrow +20~\mathrm{dB}$
+{{drawio>Beispiel_Filter_in_Reihe.svg}}
-  * Faktor $2$ $\rightarrow \approx+6~\mathrm{dB}$
-  * Faktor $1$ $\rightarrow 0~\mathrm{dB}$
-Für Abschwächungen gelten die entsprechenden negativen Werte.
 </WRAP>
-=== Warum verwendet man dB? ===
+Gerade der letzte Punkt ist für elektronische Systeme interessant.
-Die logarithmische Darstellung bietet mehrere praktische Vorteile.
+Werden mehrere Verstärker oder Übertragungsstufen hintereinander geschaltet, ergibt sich die Gesamtverstärkung aus dem Produkt der Einzelverstärkungen:
-**1. Große Wertebereiche werden übersichtlicher**
+$A_{\rm V, eq}=\prod A_{i} = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$.
-Ein sehr großes lineares Verhältnis wie
+In der dB-Darstellung wird daraus dagegen eine Summe:
-$A_{\rm V}=10\,000\,000$
+$A_{\rm V,eq}^{\rm dB}=\sum A_i^{\rm dB} = A_1^{\rm dB} + A_2^{\rm dB} + A_3^{\rm dB}$.
-entspricht beispielsweise
+Im dargestellten Beispiel ergibt sich:
-$A_{\rm V}^{\rm dB}=140~\mathrm{dB}$.
+$A_{\rm V,eq}^{\rm dB} = \sum A^{\rm dB} = 88~{\rm dB} + (-58~{\rm dB}) + 14~{\rm dB} = 44~{\rm dB}$.
-Die logarithmische Darstellung vermeidet damit lange Zahlenfolgen mit vielen Nullen.
-**2. Multiplikationen werden zu Additionen**
+<WRAP center round important 80%>
+**Merke: dB-Darstellung**
-Bei mehreren hintereinandergeschalteten Stufen werden die linearen Übertragungsfaktoren multipliziert:
+Für Strom- und Spannungsverhältnisse gilt:
-$A_{\rm V,ges}=A_1\cdot A_2\cdot A_3$.
+  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 10}$ entspricht einem Pegel von $+ 20~{\rm dB}$.
+  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 2} $ entspricht ungefähr einem Pegel von $+ 6~{\rm dB}$.
+  - Der lineare Wert $A_{\rm V} = 1$ entspricht $0 ~{\rm dB}$.
-In dB können die zugehörigen Pegel dagegen einfach addiert werden:
-$A_{\rm V,ges}^{\rm dB}
-=A_1^{\rm dB}+A_2^{\rm dB}+A_3^{\rm dB}$.
-Betrachten wir beispielsweise drei Stufen mit
-$A_1^{\rm dB}=88~\mathrm{dB}$,
-$A_2^{\rm dB}=-58~\mathrm{dB}$ und
-$A_3^{\rm dB}=14~\mathrm{dB}$.
-Dann ergibt sich unmittelbar
-$A_{\rm V,ges}^{\rm dB}
-=88~\mathrm{dB}-58~\mathrm{dB}+14~\mathrm{dB}
-=44~\mathrm{dB}$.
-<WRAP center round important 80%>
 Für hintereinandergeschaltete Systeme gilt:
-  * lineare Übertragungsfaktoren werden **multipliziert**,
+  - lineare Übertragungsfaktoren $A_\rm V$ werden **multipliziert**,
-  * Pegel in dB werden **addiert**.
+  - Pegel $A_{\rm V}^{\rm dB}$ werden **addiert**.
 </WRAP>
-=== Etwas schwierigere Umrechnungen ===
-Mit den beiden Ankerpunkten
+=== Weitere Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB ===
+Mit den beiden leicht merkbaren Stützstellen
-$20~\mathrm{dB}\widehat{=}\times10$
+$\color{green}{\times 10} \rightarrow + 20~{\rm dB}$
 und
-$6~\mathrm{dB}\widehat{\approx}\times2$
+$\color{green}{\times 2} \rightarrow + 6~{\rm dB}$
-lassen sich viele Werte auch ohne Taschenrechner abschätzen.
+lassen sich viele lineare Werte auch ohne Taschenrechner näherungsweise aus einem Pegel in $\rm dB$ bestimmen.
-Beispielsweise:
+Beispiele:
-$38~\mathrm{dB}
+  - <WRAP> $A_{\rm V}^{\rm dB}=58~{\rm dB}$ \\ mit den Stützstellen:
-=20~\mathrm{dB}+3\cdot6~\mathrm{dB}$
+$A_{\rm V}^{dB}=58~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm dB}$ \\
+Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \  A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad  \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$ </WRAP>\\ \\
-entsprechen näherungsweise
+  - <WRAP>$A_{\rm V}^{\rm dB}=56~{\rm dB}$ \\ mit den Stützstellen:
+$A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 80~{\rm dB} - 24~{\rm dB} = \color{blue}{4}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{-4}\cdot 6~{\rm dB}$ \\
+Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$ \\  oder alternativ  $qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_{\rm V}^{\rm dB} = 20~{\rm dB} + 36~{\rm dB} \rightarrow A_{\rm V}= 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$ </WRAP>\\ \\
-$10\cdot2^3=80$.
+  - <WRAP>$A_{\rm V}^{\rm dB}=56~{\rm dB}$ \\ mit den Stützstellen:
+$A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} - 3~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm dB}  + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6~{\rm dB}$ \\
-Ebenso gilt:
+Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3}  \qquad \cdot \qquad  2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0.707  = 560$ </WRAP>
-$-38~\mathrm{dB}
-=-20~\mathrm{dB}-3\cdot6~\mathrm{dB}$
-und damit näherungsweise
-$0.1\cdot2^{-3}=0.0125$.
-Der Wert $-3~\mathrm{dB}$ wird im Folgenden noch eine besondere Bedeutung erhalten.
+Der Wert $-3~{\rm dB}$ wird im Folgenden noch eine besondere Bedeutung erhalten.
 ==== 2.1.4 Das Bode-Diagramm ====
-Das Bode-Diagramm dient dazu, das Übertragungsverhalten eines Systems übersichtlich über einen großen Frequenzbereich darzustellen.
+Das Bode-Diagramm soll das Übertragungsverhalten eines Systems übersichtlich darstellen.
-=== Vorüberlegung: komplexe Größen ===
+=== Vorbetrachtung: komplexe Zahlen ===
-Eine komplexe Zahl kann grundsätzlich durch zwei reelle Größen beschrieben werden.
+Eine komplexe Zahl kann immer durch zwei reelle Größen beschrieben werden. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:
-Eine Möglichkeit ist die Darstellung über Real- und Imaginärteil:
+<WRAP>
+<imgcaption BildNr01 | Beispiel: Darstellung von komplexen Zahlen>
+</imgcaption>
+{{drawio>DarstellungVonKomplZahlenV01.svg}}
+</WRAP>
-$\underline A
+  - Darstellung durch Realteil $\Re(\underline{A}_{\rm V})=A_{\rm V} \cdot \cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_{\rm V})=A_{\rm V} \cdot \sin(\varphi)$ in $\underline{A}_{\rm V}= \Re(\underline{A}_{\rm V}) + {\rm j} \cdot \Im(\underline{A}_{\rm V})$
-=\Re(\underline A)+{\rm j}\cdot\Im(\underline A)$.
-Alternativ kann dieselbe komplexe Zahl über Betrag und Phase beschrieben werden:
+  - Darstellung durch Betrag $A_{\rm V} = |\underline{A}_{\rm V}|$ und Phase $\varphi = \arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_{\rm V})}{\Re(\underline{A}_{\rm V})} \right)$ in $\underline{A}_{\rm V}=A_{\rm V} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}$
-$\underline A
+Die zweite Darstellung ist für die Betrachtung frequenzabhängiger Spannungsverhältnisse besonders geeignet. Sie trennt die Änderung der Amplitude von der zeitlichen Verschiebung bzw. Phase.
-=|\underline A|\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}$.
-Für die Betrachtung frequenzabhängiger Spannungsübertragungen ist die zweite Darstellung besonders geeignet.
-Damit lässt sich das komplexe Übertragungsverhältnis
-$\underline A_{\rm V}(f)
-={{\underline U_{\rm O}(f)}\over{\underline U_{\rm I}(f)}}$
-durch zwei Größen beschreiben:
-  * den Betrag $|\underline A_{\rm V}(f)|$ und
-  * die Phase $\varphi(f)$.
-Der Betrag beschreibt, wie stark das Signal übertragen wird. Die Phase beschreibt die Verschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal.
 === Entwicklung des Bode-Diagramms ===
-Betrachten wir zunächst den Frequenzgang eines einfachen RC-Glieds.
 <WRAP>
-{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+0.75+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+357+89+0+24+O%0Ax+120+88+126+91+0+24+I%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0A noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+357+89+0+24+U%0Ax+120+88+126+91+0+24+I%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A noborder}}
 </WRAP>
-Im unteren Teil der Simulation ist der Betrag des Übertragungsverhältnisses als Funktion der Frequenz dargestellt.
+Um die Frequenzabhängigkeit des Spannungsübertragungsverhältnisses besser zu verstehen, kann dessen Betrag als Funktion der Frequenz $f$ dargestellt werden: $|A_{\rm V}(f)|$.
-Bei kleinen Frequenzen liegt das Spannungsverhältnis nahe $0~\mathrm{dB}$. Mit steigender Frequenz nimmt die Ausgangsspannung zunehmend ab.
+Sinnvoll ist es, das Spannungsverhältnis als Pegel $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ darzustellen.
-Bewegen Sie den Mauszeiger über die Kurve. Für verschiedene Frequenzen können jeweils Frequenz und Verstärkung in $\mathrm{dB}$ abgelesen werden.
+Die Simulation zeigt den Verlauf von $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ für einen Tiefpass im unteren Bereich der Darstellung. Der Verlauf beginnt links bei ungefähr $0~{\rm dB}$ und fällt für höhere Frequenzen deutlich ab.
-In einer zunächst linearen Darstellung der Frequenzachse ist jedoch ein Problem zu erkennen:
+Wird der Mauszeiger über das Diagramm bewegt, kann für jede Frequenz der jeweilige Wert der Verstärkung in $\rm dB$ angezeigt werden.
-Ein großer Teil der interessanten Änderung findet in einem relativ kleinen Bereich der x-Achse statt. Charakteristische Punkte des Frequenzgangs sind deshalb nur schwer abzulesen.
+Beim Anklicken eines Punktes im Frequenzgang zeigt die Simulation außerdem die zu dieser Frequenz gehörenden Strom- und Spannungsverhältnisse in der Schaltung.
-Schalten Sie deshalb über
+Bei einer linearen Frequenzachse ist es allerdings schwierig, charakteristische Punkte wie beispielsweise die Grenzfrequenz aus dem Frequenzgang abzulesen.
-''Options'' >> ''Linear Scale''
+Wird auch die Frequenzachse logarithmisch dargestellt, ergibt sich ein deutlich übersichtlicheres Bild. In Falstad kann dies über ''Options'' >> ''Linear Scale'' umgeschaltet werden.
-zwischen linearer und logarithmischer Frequenzdarstellung um.
+Nun werden
-Mit logarithmischer Frequenzachse wird das Verhalten deutlich übersichtlicher:
+  * der zunächst nahezu konstante Verlauf bei niedrigen Frequenzen und
+  * der Abfall bei höheren Frequenzen
-  * Für kleine Frequenzen ist der Amplitudengang nahezu konstant.
+sehr deutlich sichtbar.
-  * In einem Übergangsbereich beginnt die Kurve abzufallen.
-  * Für hohe Frequenzen ergibt sich näherungsweise eine Gerade.
-Aktivieren Sie zusätzlich über
+Die Phase kann über ''Options'' >> ''Show Phase'' eingeblendet werden.
-''Options'' >> ''Show Phase''
-die Darstellung der Phase.
+=== Beschreibung des Bode-Diagramms ===
-Damit erhalten wir die beiden Bestandteile des später so genannten Bode-Diagramms.
+<WRAP>
+<imgcaption BildNr21 | Prinzipdarstellung eines Bode-Diagramms>
+</imgcaption>
+{{drawio>Prinzipbild_des_Bodediagramms.svg}}
+</WRAP>
+Das Bode-Diagramm ermöglicht die **Darstellung einer komplexwertigen, frequenzabhängigen Größe in logarithmischer Form**.
+Der Frequenzgang wird dabei in zwei Darstellungen aufgeteilt:
-==== 2.1.5 Beschreibung des Bode-Diagramms ====
+  * den **Amplitudengang**, der die Amplitude logarithmisch als dB-Pegel über einer logarithmischen Frequenzachse darstellt,
+  * den **Phasengang**, der die Phase linear über einer logarithmischen Frequenzachse darstellt.
-Ein Bode-Diagramm ermöglicht die **Darstellung einer komplexwertigen, frequenzabhängigen Größe in logarithmischer Form**.
+Eine Änderung der Frequenz um den Faktor $\times 10$ wird als **Dekade** bezeichnet.
-Es besteht aus zwei Teilen:
+Der Amplitudengang verschiedener grundlegender Funktionen kann damit einfach beschrieben werden. Dabei bezeichnet $\mathcal{C}$ einen beliebigen frequenzunabhängigen Faktor:
-  * dem **Amplitudengang** und
+  - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} \cdot f$: \\ Wird eine Funktion betrachtet, die linear mit $f$ wächst, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verzehnfachung des Spannungsübertragungsverhältnisses. \\ Daraus ergibt sich ein Anstieg um $+20~{\rm dB}$ pro Dekade.
-  * dem **Phasengang**.
-=== Amplitudengang ===
+  - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f$: \\ Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f$, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verringerung des Spannungsübertragungsverhältnisses auf ein Zehntel. \\ Daraus ergibt sich ein Abfall um $-20~{\rm dB}$ pro Dekade.
-Im Amplitudengang wird der Betrag des Übertragungsverhältnisses in $\mathrm{dB}$ über der logarithmischen Frequenz dargestellt.
+  - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f^n$: \\ Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f^n$, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verringerung des Spannungsübertragungsverhältnisses auf $1/10^n$. \\ Daraus ergibt sich ein Abfall um $-20~{\rm dB} \cdot n$ pro Dekade.
-Die logarithmische Darstellung des Betrags entsteht bereits durch die Verwendung der dB-Skala.
+Als Alternative zum exakten Verlauf werden $|A_{\rm V}(f)|$ und $\varphi(f)$ gelegentlich näherungsweise durch Geradenstücke dargestellt.
-Damit werden sowohl
-  * die Frequenzachse als auch
+<WRAP center round important 80%>
-  * das Amplitudenverhältnis
+**Merke: Bode-Diagramm**
-logarithmisch dargestellt.
+Das Bode-Diagramm bzw. der Frequenzgang besteht aus:
-=== Phasengang ===
+  - **Amplitudengang:** Amplitude in dB über logarithmischer Frequenz.
+  - **Phasengang:** linear dargestellte Phase über logarithmischer Frequenz.
-Im Phasengang wird die Phase $\varphi$ in Grad über derselben logarithmischen Frequenzachse dargestellt.
+Dadurch ergeben sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ Geraden.
-Die Phase selbst wird dabei linear aufgetragen.
-Das Bode-Diagramm besteht damit aus:
-^ Teil ^ y-Achse ^ x-Achse ^
-| Amplitudengang | Betrag in $\mathrm{dB}$ | Frequenz logarithmisch |
-| Phasengang | Phase in Grad | Frequenz logarithmisch |
-=== Dekaden ===
-Eine Verzehnfachung der Frequenz wird als **Dekade** bezeichnet.
-Beispielsweise liegen zwischen
-$100~\mathrm{Hz}$ und $1~\mathrm{kHz}$
-genauso eine Dekade wie zwischen
-$10~\mathrm{kHz}$ und $100~\mathrm{kHz}$.
-Auf einer logarithmischen Frequenzachse besitzen diese beiden Bereiche deshalb dieselbe Breite.
-=== Steigungen im Amplitudengang ===
-Betrachten wir zunächst eine Funktion der Form
-$|A_{\rm V}(f)|=\mathcal C\cdot f$,
-wobei $\mathcal C$ eine frequenzunabhängige Konstante ist.
-Wird die Frequenz um den Faktor $10$ erhöht, steigt auch der Betrag um den Faktor $10$.
-Ein Faktor $10$ entspricht $+20~\mathrm{dB}$.
-Daraus ergibt sich eine Steigung von
-$+20~\mathrm{dB/dec}$.
-Für
-$|A_{\rm V}(f)|={{\mathcal C}\over f}$
-führt eine Verzehnfachung der Frequenz dagegen zu einem Zehntel des ursprünglichen Betrags.
-Das entspricht $-20~\mathrm{dB}$ pro Dekade.
-Allgemeiner gilt für
-$|A_{\rm V}(f)|={{\mathcal C}\over f^n}$:
-Bei einer Verzehnfachung der Frequenz verringert sich das Amplitudenverhältnis um den Faktor $10^n$.
-Im Bode-Diagramm entspricht dies einer Steigung von
-$-20n~\mathrm{dB/dec}$.
-^ Verhalten ^ Steigung ^
-| $A(f)\sim f$ | $+20~\mathrm{dB/dec}$ |
-| $A(f)\sim1/f$ | $-20~\mathrm{dB/dec}$ |
-| $A(f)\sim1/f^2$ | $-40~\mathrm{dB/dec}$ |
-<WRAP center round important 80%>
-Ein Bode-Diagramm besteht aus
-  * **Amplitudengang:** Betrag in $\mathrm{dB}$ über logarithmischer Frequenz,
-  * **Phasengang:** Phase in Grad über logarithmischer Frequenz.
-Für Funktionen der Form $A(f)\sim f^n$ entstehen im Amplitudengang Geraden.
 Insbesondere gilt:
-  * $A(f)\sim f \rightarrow +20~\mathrm{dB/dec}$
+  - für $A(\omega) \sim \omega$ eine Steigung von $+ ~\rm 20dB/decade$,
-  * $A(f)\sim1/f \rightarrow -20~\mathrm{dB/dec}$
+  - für $A(\omega) \sim \frac{1}{\omega}$ eine Steigung von $-20~\rm dB/decade$.
 </WRAP>
-=== Asymptotische Darstellung ===
-In technischen Skizzen wird der tatsächliche Verlauf des Amplitudengangs häufig durch Geraden angenähert.
+=== Praktische Untersuchung des Bode-Diagramms ===
-Diese asymptotische Darstellung ist besonders praktisch, weil sich charakteristische Frequenzbereiche und Steigungen schnell erkennen lassen.
+Verwenden Sie die Simulation oben und untersuchen Sie den Frequenzgang zunächst ohne Rechnung.
-Der reale Verlauf geht dabei kontinuierlich von einem Bereich in den nächsten über.
+  - Bewegen Sie den Cursor von niedrigen zu hohen Frequenzen über den Amplitudengang.
+  - Beobachten Sie, wie sich $U_{\rm O}$ gegenüber $U_{\rm I}$ verändert.
+  - Schalten Sie die Phase ein.
+  - Suchen Sie den Bereich, in dem der Amplitudengang beginnt deutlich abzufallen.
+  - Vergleichen Sie zwei Frequenzen, die ungefähr eine Dekade auseinanderliegen.
+  - Bestimmen Sie näherungsweise die Änderung des Pegels zwischen diesen beiden Punkten.
-In den folgenden Blöcken werden wir diese Darstellung nutzen, um das Verhalten realer Kondensatoren und später ganzer Filterschaltungen abzuschätzen.
+Die Rechnung zur Grenzfrequenz und die genaue Analyse des RC-Tiefpasses folgen später. In diesem Block steht zunächst das **Lesen und Interpretieren des Bode-Diagramms** im Vordergrund.
-==== 2.1.6 Die -3-dB-Grenze ====
-Beim betrachteten RC-Glied ist im Bode-Diagramm ein Übergang zwischen zwei Bereichen zu erkennen:
-  * bei kleinen Frequenzen ist der Betrag nahezu konstant,
-  * bei hohen Frequenzen fällt er näherungsweise mit $-20~\mathrm{dB/dec}$.
-Eine charakteristische Frequenz dieses Übergangs ist die **Grenzfrequenz** $f_c$.
-An dieser Stelle beträgt das Amplitudenverhältnis gegenüber dem Wert im Durchlassbereich
-$|A_{\rm V}|={1\over\sqrt{2}}\approx0.707$.
-In dB ergibt sich:
-$20\log_{10}\left({1\over\sqrt{2}}\right)\approx-3~\mathrm{dB}$.
-Deshalb wird diese Frequenz auch als **$-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz** bezeichnet.
-<WRAP center round important 80%>
-$-3~\mathrm{dB}$ bedeuten bei einem Spannungsverhältnis nicht „halbe Spannung“.
-Es gilt:
-  * Spannungsverhältnis: ungefähr $0.707$
-  * Leistungsverhältnis bei gleichem Widerstand: $0.5$
-</WRAP>
-Für einen RC-Tiefpass erster Ordnung beträgt die Phasenverschiebung an der Grenzfrequenz ungefähr $-45^\circ$.
-Die detaillierte Herleitung der Grenzfrequenz erfolgt später bei der konkreten Analyse von Filterschaltungen.
 ==== 2.1.7 Frequenzgang und die Leit-Schaltung ====