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Block 02 — Frequenzgang, Dezibel und Bode-Diagramm

2.0 Einführung

In der Leit-Schaltung wird der Motor mit einem PWM-Signal angesteuert. Gleichzeitig soll über den Shunt ein möglichst gut auswertbares Stromsignal gewonnen werden.

Damit treffen zwei sehr unterschiedliche Betrachtungsweisen aufeinander:

• Im Zeitbereich sehen wir Spannungen und Ströme als Funktion der Zeit.
• Im Frequenzbereich betrachten wir, wie eine Schaltung auf Signale unterschiedlicher Frequenz reagiert.

Warum ist diese zweite Sichtweise hilfreich?

Betrachten wir zunächst ein Signal, das durch hochfrequente Störungen überlagert ist.

Links ist das ursprüngliche Signal zu sehen. Anschließend wird Rauschen hinzugefügt. Nach den beiden Filterstufen nimmt der hochfrequente Anteil sichtbar ab.

Dabei entsteht jedoch ein Zielkonflikt: Das Signal wird glatter, gleichzeitig werden aber auch schnelle Änderungen des Nutzsignals abgeschwächt.

Die entscheidende Frage lautet deshalb nicht nur:

„Filtert die Schaltung?“

sondern vielmehr:

„Welche Frequenzen werden wie stark übertragen?“

Genau dafür werden in diesem Block Frequenzgang, Dezibel und Bode-Diagramm eingeführt.

2.0.1 Lernziele

Nach diesem 90-minütigen Block können Sie

• zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich unterscheiden,
• die Frequenz $f$, Kreisfrequenz $\omega$ und Periodendauer $T$ ineinander umrechnen,
• ein Spannungsübertragungsverhältnis $A_{\rm V}=U_{\rm O}/U_{\rm I}$ interpretieren,
• lineare Spannungsverhältnisse in Dezibel umrechnen und typische dB-Werte ohne Taschenrechner abschätzen,
• erklären, warum für Spannungen der Faktor $20$ und für Leistungen der Faktor $10$ im Logarithmus verwendet wird,
• Amplituden- und Phasengang unterscheiden,
• ein einfaches Bode-Diagramm lesen,
• Dekaden und Steigungen in $\mathrm{dB/dec}$ interpretieren,
• die Bedeutung der $-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz qualitativ erklären,
• Amplitude und Phase in Falstad für verschiedene Frequenzen untersuchen.

2.0.2 Vorbereitung zu Hause

Aus den vorherigen Lehrveranstaltungen werden folgende Zusammenhänge vorausgesetzt:

• $f=1/T$
• $\omega=2\pi f$
• sinusförmige Spannungen und Ströme,
• komplexe Impedanzen von Widerstand und Kondensator,
• $Z_R=R$ und $Z_C=1/({\rm j}\omega C)$.

Überlegen Sie vor der Veranstaltung:

• Was geschieht mit $|Z_C|$, wenn die Frequenz steigt?
• Warum könnte eine Schaltung auf ein Signal mit $100~\mathrm{Hz}$ anders reagieren als auf ein Signal mit $100~\mathrm{kHz}$?
• Welche Information geht verloren, wenn nur die Amplitude eines Signals betrachtet wird?

2.0.3 90-Minuten-Plan

1. Einstieg und Simulation (10 min): verrauschtes Signal und unterschiedliche Wirkung auf niedrige und hohe Frequenzen.
2. Vom Zeitbereich zum Frequenzgang (15 min): Sinus als Testsignal, Amplitudenverhältnis und Phase.
3. Dezibel (20 min): lineare Faktoren, dB-Skala und typische Referenzwerte.
4. Bode-Diagramm (25 min): logarithmische Frequenzachse, Amplituden- und Phasengang, Dekaden und Steigungen.
5. Praktische Falstad-Untersuchung (15 min): Frequenz verändern, Grenzfrequenz und Phase ablesen.
6. Abschluss (5 min): zentrale Aussagen und Verbindung zum realen Kondensator in Block 03.

2.0.4 Konzeptübersicht

1. Eine Schaltung kann unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich stark übertragen.
2. Ein sinusförmiges Testsignal ermöglicht es, für jede Frequenz Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung zu bestimmen.
3. Der Frequenzgang beschreibt diese beiden Größen über der Frequenz.
4. Die dB-Skala stellt große Wertebereiche kompakt dar und macht Multiplikationen zu Additionen.
5. Das Bode-Diagramm verwendet eine logarithmische Frequenzachse und besteht aus Amplituden- und Phasengang.
6. Eine Steigung von $-20~\mathrm{dB/dec}$ bedeutet: Bei einer Verzehnfachung der Frequenz wird das Amplitudenverhältnis um den Faktor 10 kleiner.
7. Die Grenzfrequenz eines Systems erster Ordnung liegt typischerweise dort, wo der Amplitudengang gegenüber dem Durchlassbereich um $3~\mathrm{dB}$ abgefallen ist.

2.1 Kerninhalt

2.1.1 Vom Zeitbereich zum Frequenzbereich

Bisher wurden Spannungen häufig als Funktion der Zeit betrachtet: $u(t)$.

Eine solche Darstellung beantwortet beispielsweise die Fragen:

• Wann ändert sich das Signal?
• Wie groß ist die Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt?
• Wie schnell steigt oder fällt eine Flanke?

Für viele elektronische Schaltungen ist aber zusätzlich interessant, wie die Schaltung auf unterschiedliche Frequenzen reagiert.

Als Testsignal eignet sich besonders eine sinusförmige Spannung

$$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$$

Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz.
Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern:

$$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$$

Damit reichen zwei Größen aus, um die Wirkung der Schaltung bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben:

• das Amplitudenverhältnis $|A_{\rm V}|=\hat U_{\rm O}/\hat U_{\rm I}$ und
• die Phasenverschiebung $\varphi$.

Refresh: Frequenz, Periodendauer, Phase

Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$. Die Kreisfrequenz lautet $\omega=2\pi f$.

Damit entspricht beispielsweise eine Frequenz von $f=1~\mathrm{kHz}$ einer Periodendauer von $T=1~\mathrm{ms}$ und einer Kreisfrequenz von ungefähr $\omega=6283~\mathrm{rad/s}$.

In Datenblättern, Simulationen und Bode-Diagrammen wird meist die Frequenz $f$ in $\mathrm{Hz}$ verwendet. In Gleichungen ist dagegen häufig $\omega$ zu finden.

Die Phase kann auch aus einer Zeitverschiebung zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.
Eine vollständige Periodendauer $T$ entspricht $360^\circ$. Für eine Zeitverschiebung $\Delta t$ gilt daher

$$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$$

Je nach Richtung der Verschiebung wird die Phase positiv oder negativ angegeben.

Beispiel: Bei $f=1~\mathrm{kHz}$ gilt $T=1~\mathrm{ms}$. Ist das Ausgangssignal gegenüber dem Eingang um $250~\mathrm{\mu s}$ verzögert, entspricht dies einer Phasenverschiebung von $90^\circ$.

2.1.2 Übertragungsverhältnis und Frequenzgang

Das Spannungsübertragungsverhältnis einer Schaltung wird mit

$$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$$

beschrieben.

Ist $A_{\rm V}=1$, besitzen Ein- und Ausgang dieselbe Amplitude. Bei $A_{\rm V}=0.1$ besitzt das Ausgangssignal nur noch ein Zehntel der Eingangsamplitude.

Für eine frequenzabhängige Schaltung ist $A_{\rm V}$ jedoch keine einzelne Zahl mehr:

$$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$$

Zusätzlich kann zwischen Ein- und Ausgang eine Phasenverschiebung entstehen. Vollständig wird die Übertragung deshalb durch eine komplexe Größe beschrieben:

$$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$$

Für die praktische Betrachtung wird diese komplexe Größe in Betrag und Phase zerlegt:

• $|\underline A_{\rm V}(f)|$: Amplitudenverhältnis
• $\varphi(f)$: Phasenverschiebung

Wir werden im Folgenden vor allem lernen, diese beiden Größen zu lesen und zu interpretieren. Die detaillierte Herleitung konkreter Filter folgt später.

2.1.3 Die dB-Skala

Die Dezibel-Skala ist eine Hilfsdarstellung, welche die Arbeit mit Verhältnissen vereinfacht, beispielsweise mit dem Verhältnis $U_2/U_1$.

Solche Verhältnisse werden in der Technik auch als Pegel bezeichnet. Durch die Angabe eines Pegels kann eine Größe auf eine Referenzgröße bezogen werden.

In elektronischen Schaltungen wird Dezibel häufig für Strom- oder Spannungsverhältnisse verwendet. Für diesen Kurs wird dies insbesondere für die Spannungsverstärkung

$$A_{\rm V} = \frac{U_\rm O}{U_\rm I}$$

und allgemein für Übertragungsfaktoren wichtig.

Die Umrechnung eines Spannungs- bzw. Stromverhältnisses in einen Pegel in $\rm dB$ ist definiert durch:

$\boxed{A_{\rm V}^{\rm dB}=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{U_2}{U_1}\right)=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10} A_\rm V}$     bzw.      $A_{\rm C}^{\rm dB}=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)$

Technische Pegelangaben in dB

Beachten Sie, dass sich die Gleichung für Leistungsgrößen, also beispielsweise Verhältnisse von $P$, etwas verändert.

Da $P \sim U^2$ bzw. $U \sim P^\frac{1}{2}$ gilt, ergibt sich:

$A_P^{\rm dB}= 20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2^\frac{1}{2}}{P_1^\frac{1}{2}}\right)$
       $ =\color{blue}{20 ~{\rm dB} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) =\color{blue}{10 ~{\rm dB}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) $

Die Tabelle oben zeigt verschiedene in der Technik gebräuchliche Pegelangaben. Im Folgenden wird hauptsächlich das Spannungsverhältnis betrachtet und der zugehörige Pegel vereinfacht mit der Einheit $\rm dB$ angegeben.

Einfache Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB

Mit der oben angegebenen Gleichung können lineare Faktoren bzw. Verhältnisse $A = \boxed{}_2 / \boxed{}_1$ in einen Pegel $A^{\rm dB}$ in $\rm dB$ umgerechnet werden.

Gelegentlich wird der hochgestellte Index $\boxed{}^{\rm dB}$ weggelassen. Stattdessen erkennt man den Pegel an der Einheit $\rm dB$.

Beispiele:

1. Für $A_{\rm V}= \color{green}{1} $ ergibt sich

   $ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1}) = 20 {\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{1}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1})} \quad = 20 {\rm dB} \cdot 0 \quad \ \boldsymbol{= 0 {\rm dB}}$
   Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{1}$ gilt, also $\color{blue}{x}=0$.

   
   
   

1. Für $A_{\rm V}= \color{green}{0.01} $ ergibt sich

   $ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{0.01}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01})} = 20 ~{\rm dB} \cdot (-2) \boldsymbol{= -40 ~{\rm dB}}$
   Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{0.01}$ gilt, also $\color{blue}{x}=-2$.

   
   
   

1. Für $A_{\rm V}= \color{green}{2} $ ergibt sich

   $ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{2}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2})} \quad\approx 20 ~{\rm dB} \cdot 0.30103 \boldsymbol{\approx 6 ~{\rm dB}}$
   Hier besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{2}$ gilt. Damit ist $\color{blue}{x}\approx 0.30103$.

   
   
   

Nutzen der dB-Darstellung

Dezibel besitzt einige Vorteile, die insbesondere bei den später betrachteten frequenzabhängigen Schaltungen hilfreich sind:

• Handlichere Zahlenwerte: Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, entstehen in der dB-Darstellung meist deutlich kompaktere Zahlen. Beispiel: $A_{\rm V} = 10000000 \rightarrow A_{\rm V}^{\rm dB}= 140~{\rm dB}$. Das reduziert insbesondere das fehleranfällige „Nullenzählen“.

• Logarithmische Wahrnehmung: Viele menschliche Sinneswahrnehmungen, beispielsweise Lautstärke oder Helligkeit, reagieren näherungsweise logarithmisch auf physikalische Größen.

• Einfachere Rechnung: Durch den Logarithmus wird eine Multiplikation linearer Faktoren zu einer Addition der Pegel:

$A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1) + 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_2) = A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1) + A_{\rm V}^{\rm dB}(A_2)$

Gerade der letzte Punkt ist für elektronische Systeme interessant.

Werden mehrere Verstärker oder Übertragungsstufen hintereinander geschaltet, ergibt sich die Gesamtverstärkung aus dem Produkt der Einzelverstärkungen:

$A_{\rm V, eq}=\prod A_{i} = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$.

In der dB-Darstellung wird daraus dagegen eine Summe:

$A_{\rm V,eq}^{\rm dB}=\sum A_i^{\rm dB} = A_1^{\rm dB} + A_2^{\rm dB} + A_3^{\rm dB}$.

Im dargestellten Beispiel ergibt sich:

$A_{\rm V,eq}^{\rm dB} = \sum A^{\rm dB} = 88~{\rm dB} + (-58~{\rm dB}) + 14~{\rm dB} = 44~{\rm dB}$.

Weitere Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB

Mit den beiden leicht merkbaren Stützstellen

$\color{green}{\times 10} \rightarrow + 20~{\rm dB}$

und

$\color{green}{\times 2} \rightarrow + 6~{\rm dB}$

lassen sich viele lineare Werte auch ohne Taschenrechner näherungsweise aus einem Pegel in $\rm dB$ bestimmen.

Beispiele:

1. $A_{\rm V}^{\rm dB}=58~{\rm dB}$
   mit den Stützstellen: $A_{\rm V}^{dB}=58~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm dB}$
   Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad 2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$

   
   
   

1. $A_{\rm V}^{\rm dB}=56~{\rm dB}$
   mit den Stützstellen: $A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 80~{\rm dB} - 24~{\rm dB} = \color{blue}{4}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{-4}\cdot 6~{\rm dB}$
   Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad 2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$
   oder alternativ $qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_{\rm V}^{\rm dB} = 20~{\rm dB} + 36~{\rm dB} \rightarrow A_{\rm V}= 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$

   
   
   

1. $A_{\rm V}^{\rm dB}=56~{\rm dB}$
   mit den Stützstellen: $A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} - 3~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm dB} + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6~{\rm dB}$
   Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad 2^\color{magenta}{3} \qquad \cdot \qquad 2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0.707 = 560$

Der Wert $-3~{\rm dB}$ wird im Folgenden noch eine besondere Bedeutung erhalten.

2.1.4 Das Bode-Diagramm

Das Bode-Diagramm soll das Übertragungsverhalten eines Systems übersichtlich darstellen.

Vorbetrachtung: komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl kann immer durch zwei reelle Größen beschrieben werden. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:

1. Darstellung durch Realteil $\Re(\underline{A}_{\rm V})=A_{\rm V} \cdot \cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_{\rm V})=A_{\rm V} \cdot \sin(\varphi)$ in $\underline{A}_{\rm V}= \Re(\underline{A}_{\rm V}) + {\rm j} \cdot \Im(\underline{A}_{\rm V})$

1. Darstellung durch Betrag $A_{\rm V} = |\underline{A}_{\rm V}|$ und Phase $\varphi = \arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_{\rm V})}{\Re(\underline{A}_{\rm V})} \right)$ in $\underline{A}_{\rm V}=A_{\rm V} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}$

Die zweite Darstellung ist für die Betrachtung frequenzabhängiger Spannungsverhältnisse besonders geeignet. Sie trennt die Änderung der Amplitude von der zeitlichen Verschiebung bzw. Phase.

Entwicklung des Bode-Diagramms

Um die Frequenzabhängigkeit des Spannungsübertragungsverhältnisses besser zu verstehen, kann dessen Betrag als Funktion der Frequenz $f$ dargestellt werden: $|A_{\rm V}(f)|$.

Sinnvoll ist es, das Spannungsverhältnis als Pegel $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ darzustellen.

Die Simulation zeigt den Verlauf von $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ für einen Tiefpass im unteren Bereich der Darstellung. Der Verlauf beginnt links bei ungefähr $0~{\rm dB}$ und fällt für höhere Frequenzen deutlich ab.

Wird der Mauszeiger über das Diagramm bewegt, kann für jede Frequenz der jeweilige Wert der Verstärkung in $\rm dB$ angezeigt werden.

Beim Anklicken eines Punktes im Frequenzgang zeigt die Simulation außerdem die zu dieser Frequenz gehörenden Strom- und Spannungsverhältnisse in der Schaltung.

Bei einer linearen Frequenzachse ist es allerdings schwierig, charakteristische Punkte wie beispielsweise die Grenzfrequenz aus dem Frequenzgang abzulesen.

Wird auch die Frequenzachse logarithmisch dargestellt, ergibt sich ein deutlich übersichtlicheres Bild. In Falstad kann dies über Options » Linear Scale umgeschaltet werden.

Nun werden

• der zunächst nahezu konstante Verlauf bei niedrigen Frequenzen und
• der Abfall bei höheren Frequenzen

sehr deutlich sichtbar.

Die Phase kann über Options » Show Phase eingeblendet werden.

Beschreibung des Bode-Diagramms

Das Bode-Diagramm ermöglicht die Darstellung einer komplexwertigen, frequenzabhängigen Größe in logarithmischer Form.

Der Frequenzgang wird dabei in zwei Darstellungen aufgeteilt:

• den Amplitudengang, der die Amplitude logarithmisch als dB-Pegel über einer logarithmischen Frequenzachse darstellt,
• den Phasengang, der die Phase linear über einer logarithmischen Frequenzachse darstellt.

Eine Änderung der Frequenz um den Faktor $\times 10$ wird als Dekade bezeichnet.

Der Amplitudengang verschiedener grundlegender Funktionen kann damit einfach beschrieben werden. Dabei bezeichnet $\mathcal{C}$ einen beliebigen frequenzunabhängigen Faktor:

1. $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} \cdot f$:
   Wird eine Funktion betrachtet, die linear mit $f$ wächst, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verzehnfachung des Spannungsübertragungsverhältnisses.
   Daraus ergibt sich ein Anstieg um $+20~{\rm dB}$ pro Dekade.

1. $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f$:
   Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f$, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verringerung des Spannungsübertragungsverhältnisses auf ein Zehntel.
   Daraus ergibt sich ein Abfall um $-20~{\rm dB}$ pro Dekade.

1. $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f^n$:
   Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f^n$, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verringerung des Spannungsübertragungsverhältnisses auf $1/10^n$.
   Daraus ergibt sich ein Abfall um $-20~{\rm dB} \cdot n$ pro Dekade.

Als Alternative zum exakten Verlauf werden $|A_{\rm V}(f)|$ und $\varphi(f)$ gelegentlich näherungsweise durch Geradenstücke dargestellt.

Praktische Untersuchung des Bode-Diagramms

Verwenden Sie die Simulation oben und untersuchen Sie den Frequenzgang zunächst ohne Rechnung.

1. Bewegen Sie den Cursor von niedrigen zu hohen Frequenzen über den Amplitudengang.
2. Beobachten Sie, wie sich $U_{\rm O}$ gegenüber $U_{\rm I}$ verändert.
3. Schalten Sie die Phase ein.
4. Suchen Sie den Bereich, in dem der Amplitudengang beginnt deutlich abzufallen.
5. Vergleichen Sie zwei Frequenzen, die ungefähr eine Dekade auseinanderliegen.
6. Bestimmen Sie näherungsweise die Änderung des Pegels zwischen diesen beiden Punkten.

Die Rechnung zur Grenzfrequenz und die genaue Analyse des RC-Tiefpasses folgen später. In diesem Block steht zunächst das Lesen und Interpretieren des Bode-Diagramms im Vordergrund.

2.1.7 Frequenzgang und die Leit-Schaltung

Warum benötigen wir dieses Werkzeug für die Motortreiberschaltung?

Das PWM-Signal der Leit-Schaltung besitzt eine Grundfrequenz von ungefähr $30~\mathrm{kHz}$. Schnelle Schaltvorgänge erzeugen darüber hinaus weitere hochfrequente Signalanteile.

Auch das gemessene Shunt-Signal kann daher neben dem gewünschten Stromverlauf schnelle Störungen und Schaltanteile enthalten.

Wenn später ein Filter für dieses Signal ausgewählt wird, reicht die Aussage

„Das Signal soll geglättet werden.“

nicht aus.

Stattdessen müssen Fragen beantwortet werden wie:

• Welche Frequenzanteile gehören zum Nutzsignal?
• Welche Frequenzanteile sollen abgeschwächt werden?
• Wie stark soll die Abschwächung bei $30~\mathrm{kHz}$ sein?
• Wie viel Phasenverschiebung ist noch akzeptabel?

Das Bode-Diagramm ist das Werkzeug, mit dem diese Fragen quantitativ beschrieben werden können.

In diesem Block wurde also noch kein Filter dimensioniert. Zunächst wurde die Sprache eingeführt, mit der sein Verhalten beschrieben werden kann.

2.2 Häufige Fehler

• dB mit einem absoluten Spannungswert verwechseln: Eine Angabe in $\mathrm{dB}$ beschreibt zunächst ein Verhältnis.
• Für Spannungen $10\log$ verwenden: Für Spannungs- und Stromverhältnisse wird $20\log_{10}$ verwendet.
• $-3~\mathrm{dB}$ mit halber Spannung gleichsetzen: $-3~\mathrm{dB}$ entsprechen ungefähr dem Spannungsfaktor $0.707$.
• Eine logarithmische Frequenzachse wie eine lineare Achse lesen: Gleiche Abstände entsprechen gleichen Faktoren und nicht gleichen Frequenzdifferenzen.
• $\mathrm{dB/dec}$ mit $\mathrm{dB/Hz}$ verwechseln: Eine Dekade entspricht einer Verzehnfachung der Frequenz.
• Nur den Amplitudengang betrachten: Ein Frequenzgang enthält zusätzlich die Phaseninformation.
• Phase und Zeitverschiebung verwechseln: Dieselbe Zeitverschiebung entspricht bei unterschiedlichen Frequenzen unterschiedlichen Phasenwinkeln.
• Den Frequenzgang als Einschaltvorgang interpretieren: Der klassische Frequenzgang beschreibt das eingeschwungene Verhalten bei sinusförmiger Anregung.

2.3 Übungen

2.4 Zusammenfassung

• Der Frequenzgang beschreibt, wie eine Schaltung sinusförmige Signale unterschiedlicher Frequenz überträgt.
• Zur vollständigen Beschreibung gehören Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung.
• Für Spannungsverhältnisse gilt $A_{\rm dB}=20\log_{10}(|A|)$.
• $0~\mathrm{dB}$ entsprechen einem Faktor 1, $20~\mathrm{dB}$ einem Faktor 10 und ungefähr $6~\mathrm{dB}$ einem Faktor 2.
• Das Bode-Diagramm besitzt eine logarithmische Frequenzachse sowie einen Amplituden- und einen Phasengang.
• Eine Dekade entspricht einer Verzehnfachung der Frequenz.
• $-20~\mathrm{dB/dec}$ bedeuten eine Verringerung des Amplitudenverhältnisses um den Faktor 10 je Frequenzdekade.
• Bei einem System erster Ordnung liegt die Grenzfrequenz bei ungefähr $-3~\mathrm{dB}$ gegenüber dem Durchlassbereich.
• $-3~\mathrm{dB}$ entsprechen einem Spannungsfaktor von ungefähr $0.707$, nicht $0.5$.
• Bode-Diagramme ermöglichen es, Nutz- und Störfrequenzen einer realen Schaltung gezielt zu beurteilen.

2.5 Ausblick

Bisher wurde ein Kondensator im Frequenzbereich mit der idealen Impedanz

$Z_C={1\over{\rm j}\omega C}$

beschrieben.

Diese Gleichung sagt voraus, dass der Betrag der Impedanz mit steigender Frequenz immer weiter abnimmt.

Ein realer Kondensator verhält sich jedoch nur in einem begrenzten Frequenzbereich so.

Im nächsten Block wird deshalb der reale Kondensator betrachtet: Bauformen, ESR, ESL, Resonanzfrequenz, Spannungsabhängigkeit und die Frage, warum ein Kondensator bei hohen Frequenzen schließlich sogar induktives Verhalten zeigen kann.