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4. Netzwerke bei veränderlicher Frequenz

Einführung

In den vorherigen Kapitel wurde erklärt, wie die „Beeinflussung eines sinusförmigen Stromflusses“ von Kondensator und Induktivitäten aussehen. Um dies zu beschrieben wurde die Impedanz eingeführt. Diese kann bei sinusförmiger Anregung als komplexwertiger Widerstand verstanden werden.

Es gilt für den Kondensator:

\begin{align*} \underline{U}_C = \frac{1}{j\omega \cdot C} \cdot \underline{I}_C \quad \rightarrow \quad \underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega \cdot C} \end{align*}

und für die Induktivität

\begin{align*} \underline{U}_L = j\omega \cdot C \cdot \underline{I}_L \quad \rightarrow \quad \underline{Z}_L = j\omega \cdot L \end{align*}

Mit komplexen Impedanzen kann ganz ähnlich umgegangen werden wie mit den ohmschen Widerständen in Elektrotechnik 1 (siehe: einfache_gleichstromkreise, lineare_quellen_und_zweipole, analyse_von_gleichstromnetzen). Bei diesen Umformungen bleibt der Anteil $ j\omega \cdot$ erhalten. Schaltungen mit Impedanzen wie Induktivitäten und Kapazitäten werden entsprechend eine Frequenzabhängigkeit zeigen.

4.1 Frequenzabhängiger Spannungsteiler

Vom Zweipol zum Vierpol

Bisher wurden Komponenten wie Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten als Zweipol verstanden. Dies liegt auch nahe, da es nur zwei Anschlüsse gibt. Im folgenden werden aber Schaltungen betrachtet, die sich ähnlich eines Spannungsteilers verhalten: Auf einer Seite liegt eine Spannung $U_E$ an, auf der anderen Seite bildet sich damit $U_A$. Es ergeben sich so 4 Klemmen. Die Schaltung kann und wird im folgenden als Vierpol betrachtet werden. Die Ein uns Ausgangsgrößen werden aber komplexwertig sein.

Bei den Vierpolen ist die Relation von „was geht rein“ (z.B. Spannung $\underline{U}_E$ oder $\underline{U}_1$) zu „was geht raus“ (z.B. $\underline{U}_A$ oder $\underline{U}_2$) wichtig. Damit ergibt sich aus den Ein- und Ausgangsgrößen ($\underline{U}_1$) und ($\underline{U}_2$) der Quotient:

\begin{align*} \underline{A} & = \frac {\underline{U}_1}{\underline{U}_2} \\ & \text{mit} \; \underline{U}_1 = U_1 \cdot e^{j \varphi_{u1}} \\ & \text{und} \; \underline{U}_2 = U_2 \cdot e^{j \varphi_{u2}} \\ \\ \underline{A}& = \frac {\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac {U_1 \cdot e^{j \varphi_{u1}}}{U_2 \cdot e^{j \varphi_{u2}}} \\ & = \frac {U_1}{U_2}\cdot \cdot e^{j (\varphi_{u1}-\varphi_{u2})} \\ \end{align*} \begin{align*} \boxed{\underline{A} = \dfrac {\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac {U_1}{U_2}\cdot e^{j \Delta\varphi_{u}}} \end{align*}

Das Frequenzverhalten des Amplitudengangs und des Frequenzgangs ist nicht nur in Elektrotechnik und Elektronik wichtig, sondern wird auch in Regelungstechnik noch eine zentrale Rolle spielen.

RL-Reihenschaltung

Es soll zunächst eine Reihenschaltung eines Widerstands $R$ und einer Induktivität $L$ betrachtet werden (siehe <imref BildNr02>). Diese Struktur wird auch RL-Glied genannt.
Hierbei ergibt sich für $\underline{U}_1= \underline{X_1} \cdot \underline{I}_1$ mit $\underline{X}_1 = R + j\omega \cdot L$ und entsprechendes für $\underline{U}_2$: \begin{align*} \underline{A} = \dfrac {\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac {\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}\cdot e^{j\left(\frac{\pi}{2} - arctan \frac{\omega L}{R} \right)} \end{align*}

Daraus ergibt sich für

• den Amplitudengang: $A = \frac {\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}$ und
• dem Phasengang: $\Delta\varphi_{u} = \frac{\pi}{2} - arctan \frac{\omega L}{R}$

Das Hauptaugenmerk soll zunächst auf dem Amplitudengang liegen. Dessen Frequenzverhalten lässt sich auf verschiedene Arten aus der Gleichung ableiten.

1. Grenzwertbetrachtung der RL-Anordnung (in der Gleichung und im System)
2. Plotten von Amplituden- und Frequenzgang
3. Ermitteln von markanten Frequenzen

Diese drei Punkte sollen nun durchgegangen werden.

Grenzwertbetrachtung der RL-Anordnung

Zur Grenzwertbetrachtung wird betrachtet was, passiert, wenn die Frequenz $\omega$ an die Definitionsbereichsgrenzen läuft, also $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$:

• Für $\omega \rightarrow 0$ wird $A = \frac {\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \rightarrow 0$, da der Zähler gegen null geht und der Nenner größer als Null bleibt.
• Für $\omega \rightarrow \infty$ läuft $A \rightarrow 1$, denn in der Wurzel im Nenner wird $(\omega L)^2$ im Verhältnis $R^2$ zu immer größer. Die Wurzel strebt also gegen $\omega L$ und damit gegen den Zähler.

Es ist also zu sehen, dass:

• bei kleinen Frequenzen keine Spannung $U_2$ am Ausgang anliegt
• bei großen Frequenzen $A = \frac {U_1}{U_2} = \rightarrow 1$ wird, also die Spannung am Ausgang der Spannung am Eingang gleicht.

Das dargestellte RL-Glied lässt also nur große Frequenzen passieren (= durchlaufen) und kleine werden weggefiltert. Die Schaltung entspricht einem Hochpass.
Dies lässt sich auch aus dem Verständnis der Bauteile herleiten: Bei kleinen Frequenzen ändert sich der Strom in der Spule und damit das Magnetfeld nur langsam. Es wird also nur eine vernachlässigbar kleine Gegenspannung induziert. Die Spule wirkt niederfrequent wie ein Kurzschluss. Bei höher werdenden Frequenzen ändert sich der durch $U_1$ erzeugte Strom durch die Spule schneller, die induzierte Spannung $U_i = - dI / dt$ wird groß. Die Spule hemmt dadurch den Stromfluss und es fällt eine Spannung an der Spule ab. Wird die Frequenz sehr hoch, so fließt nur ein vernachlässigbarer Strom durch die Spule - und damit auch durch den Widerstand. Der Spannungsabfall an $R$ geht damit gegen null und die Ausgangsspannung $U_2$ strebt gegen $U_1$.

Für die weitere Betrachtung soll die Gleichung der Übertragungsfunktion $\underline{A} = \dfrac {\underline{U}_1}{\underline{U}_2}$ so umgeschrieben werden, dass sie unabhängig von Bauteilwerten wird. Damit wird eine verallgemeinerte Darstellung möglich. Diese Darstellung wird als Normierung bezeichnet:

\begin{align*} \underline{A} = \dfrac {\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac {\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}\cdot e^{j\left(\frac{\pi}{2} - arctan \frac{\omega L}{R} \right)} \quad \quad \xrightarrow{\text{Normierung}} \quad \quad \underline{A}_{norm} = \frac {\omega L / R}{\sqrt{1 + (\omega L / R)^2}}\cdot e^{j\left(\frac{\pi}{2} - arctan \frac{\omega L}{R} \right)} = \frac {x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot e^{j\left(\frac{\pi}{2} - arctan x \right)} \end{align*}

Diese Gleichung verhält sich ganz gleich zu dem bisher betrachteten.

Plotten von Amplituden- und Frequenzgang

Die Übertragungsfunktion lässt sich auch zerlegt in Amplitudengang und Frequenzgang darstellen. Dazu bietet es sich an

• den Amplitudengang doppeltlogarithmisch und
• den Phasengang einfach logarithmisch

aufzuzeichnen. <imref BildNr03> zeigt die beiden Diagramme. Auf der x-Achse wurde mit $x = \omega L / R$ die Normierungsvariable aufgetragen. Diese stellt eine gewichtete Frequenz dar.

4.2 Resonanzerscheinungen

Effekte um Permanentmagneten

Falstad Filter Simulation

Entkoppelkondensator am Mikrocontroller

Simulation in Falstad
Hinweis: Die Simulation gibt ein stark vereinfachtes Bild wieder. Die Reaktion des Mikrocontroller ist auf ein Dreiecksignal reduziert dargestellt, da die Flankensteilheit der Spannungen nicht abgebildet werden können. Eine reale Simulation erfordert ein leistungsfähiges SPICE-Programm, in welchem die Leitungstheorie abgebildet werden kann.

Weitere Details sind sind hier (Praxis) oder hier (Platinen-Layout) zu finden.