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Bei verschiedenen Anwendungen in harscher Umgebung (z.B. Sensoren im Motorraum oder in industirelle Umgebung, Kommunikation mit Satelliten) werden aus den klaren digitalen Sendesignalen verrauschte Signale am Empfänger. In der Simulation rechts zeigt das linke Oszilloskopbild das ursprüngliche Signal. Im zweiten Oszilloskopbild ist das verrauschte Signal zu sehen.
Eine Möglichkeit solche Signale aufzuarbeiten, ist die Verwendung von Filtern. Filter wurden auch bereits im Fach Elektrotechnik 2 beschrieben. Die klassischen $R C$-Filter sind dabei passiv. Das bedeutet, dass der Spannungswert zwar gefiltert wird, aber der Ausgangsstrom des Filters immer geringer ist als der am Eingang gemessene Strom. Um eine bessere Filterung und nachträgliche Nutzung des Signals zu ermöglichen, können aktive Filter eingesetzt werden. Diese können durch Operationsverstärker aufgebaut werden.
In der Simulation sind zwei Tiefpass-Filter dargestellt. Diese dämpfen die hochfrequenten Anteile im Signal ab. Das Signal $U_{A1}$ nach der ersten Filterstufe zeigt bereits deutlich weniger Rauschen. Im Signal $U_{A2}$ ist noch ein geringeres Rauschen sichtbar, aber auch die ansteigende und abfallende Flanke wird nicht mehr scharf dargestellt.
Mit dem Schalter (links in der Simulation) kann ein frequenz-veränderliches Testsignal (Sweep) eingespeist werden. Dieses zeigt deutlich, dass der Filter aus hochfrequenten Schwingungen am Eingang eine kleinere Amplitude am Filterausgang erzeugt.
In diesem Kapitel sollen die Grundlagen für aktive Hoch- und Tiefpassfilter aus Operationsverstärker erklärt werden.
Nach dieser Lektion sollten Sie:
Damit Filterschaltungen analysiert werden können, sollen vorher verschiedene Möglichkeiten zum Darstellen der Zahlenwerte erklärt werden.
Das Dezibel-Maß ist eine Hilfmaßeinheit, welche die Handhabung mit Verhältnissen (z.B. $U_2/U_1$) erleichtert. Diese Verhältnisse werden in der Technik Pegel genannt. Der Pegel ermöglicht den Bezug auf ein Referenzgröße. In der elektronischen Schaltungstechnik wird das Dezibel als dimensionslose Einheit für Strom- bzw. Spannungsverhältnisse genutzt. Dies wird zukünftig insbesondere für die Verstärkung $A_V = \frac{U_A}{U_E}$ und Faktoren interessant.
Die Umrechnung in einen Pegel in $dB$ ist für Strom- bzw. Spannungsverhältnisse über folgende Gleichung definiert:
$\boxed{A_V^{dB}=20 dB \cdot log_{10}\left(\frac{U_2}{U_1}\right)=20 dB \cdot log_{10}A_V}$ bzw. $A_C^{dB}=20 dB \cdot log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)$
Name | Symbol | Formel | Referenzgröße für 0dB |
---|---|---|---|
Spannungspegel | $dBV$ | $20dB \cdot log_{10}(V/V_{ref})$ | $0dBV \widehat{=} 1V$ |
Leistungspegel | $dBm$ | $10dB \cdot log_{10}(P/P_{ref})$ | $0dBm \widehat{=} 1mW$ |
Leistungspegel | $dBW$ | $10dB \cdot log_{10}(P/P_{ref})$ | $0dBW \widehat{=} 1W$ |
Full-Scale-Pegel | $dBFS$ | $20dB \cdot log_{10}(V/V_{max})$ | $0dBFS \widehat{=} V_{max}$ |
Schalldruckpegel | $dBA$ | $20dB \cdot log_{10}(p/p_{ref})$ | $0dBA \widehat{=} 20\mu Pa$ |
Zu beachten ist, dass das diese Gleichung für Leistungsgrößen, also Verhältnisse von $P$ sich etwas ändert. Wird $P \sim U^2$ bzw. $U \sim P^\frac{1}{2}$ berücksichtigt, dann ergibt sich:
$A_P^{dB}=20 dB \cdot log_{10}\left(\frac{P_2^\frac{1}{2}}{P_1^\frac{1}{2}}\right)$
$ =\color{blue}{20 dB \cdot \frac{1}{2}} \cdot log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) =\color{blue}{10 dB} \cdot log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) $
Rechts in der Tabelle sind verschiedene, in der Technik häufig genutzte Pegel zu finden. Im Folgenden wird nur der Spannungspegel genutzt und mit dem Symbol $dB$ angegeben.
linearer Faktor | Pegel [$dB$] |
---|---|
$\times 0,01$ | $-40dB$ |
$\times 0,1$ | $-20dB$ |
$\times 1$ | $0dB$ |
$\times 2$ | $\approx +6dB$ |
$\times 10$ | $+20dB$ |
$\times 100$ | $+40dB$ |
Durch diese Gleichung lassen sich verschiedene lineare Faktoren und Verhältnisse $A = \boxed{}_2 / \boxed{}_1$ in einen Pegel $A^{dB}$ in $dB$ umwandeln. Gelegentlich wird im Folgenden der hochgestellte Index $\boxed{}^{dB}$ weggelassen; in diesem Fall ist der Pegel durch die Einheit nach dem Zahlenwert gekennzeichnet.
Beispiele:
Das Dezibel bietet einige Vorteile, welche bei den im folgenden betrachteten Filter-Elementen Verwendung finden:
Gerade der letzte Punkt der Rechnung soll nochmal betrachtet werden. In Abbildung 1 sind mehrere hintereinander geschalteten Verstärker zu mit beispielhaften Spannungsverstärkungswerten sehen.
Die Gesamtverstärkung ergibt sich hier aus dem Produkt der Einzelverstärkungen: $A_{V,ges}=\prod A_i = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$.
Die Ermittlung der Gesamtverstärkung war vor Zeiten des Taschenrechners durch die Multiplikationen eher aufwändig. Für die Pegel ergibt sich eine Addition: $A_{V,ges}^{dB}=\sum A_i^{dB} = A_1^{dB} + A_2^{dB} + A_3^{dB}$.
Hier wäre dies: $A_{V,ges}^{dB}=\sum A^{dB} = 88dB + (-58dB) + 14dB = 44dB$
Für Strom und Spannungspegel gilt:
Bei hintereinander geschalteten Systemen ist für die Ermittlung der Verstärkung
Mit diesen Kenntnissen lassen sich über die Stützstellen $\color{green}{\times 10} \rightarrow + 20dB$ und $\color{green}{\times 2} \rightarrow + 6dB$ ohne Taschenrechner leicht aus einem Pegel in $dB$ die linearen Werte ermitteln.
Beispiele:
Der Wert $-3dB$ wird im Folgenden noch genutzt werden.
Ziel des Bodediagramms ist es das Übertragungsverhalten von Systemen übersichtlich und deutlich darzustellen.
Eine komplexe Zahl kann stets auf zwei reelle Zahlenwerte reduziert werden. Für die genaue Definition dieser Zahlenwerte gibt es verschiedene Möglichkeiten (Abbildung 2):
Die 2. Definition ist bei der Betrachtung der frequenzabhängigen Spannungsverstärkung geeigneter, da damit die „zeitliche Verschiebung“ (Phase) von der Verstärkung getrennt werden kann.
Um die Frequenzabhängigkeit des Betrags der Spannungsverstärkung besser verstehen zu können, kann diese als $|A_V(f)|$ in Abhängigkeit zur Frequenz aufgetragen werden. Dabei bietet es sich an die Spannungsverstärkung als Pegel $|A_V^{dB}(f)|$ darzustellen. In der Simulation rechts ist der Verlauf $|A_V^{dB}(f)|$ für einen Tiefpass in der unteren Bildhälfte zu sehen. Der Verlauf beginnt bei $0dB$ auf der linken Seite und fällt bis etwa $-45dB$ ab. Wenn die Maus über das Diagramm gezogen wird, kann für jeden Frequenz der Verstärkungswert in $dB$ dargestellt werden. Beim Klick auf den Verlauf werden Stromfluss und Spannungsverhältnisse dargestellt. Nur bei Klick auf den äußersten, linken Frequenzbereich ergibt sich eine Situation, in der $U_A$ merklich hohe Spannungen annimmt (sichtbar über die Farbe der Leitung).
In dieser Darstellungsart ist es schwer Werte, wie z.b. die Grenzfrequenz aus dem Frequenzverlauf zu ermitteln.
Wird aber auch die Frequenzachse logarithmiert, ergibt sich ein anderes Bild. Dies erfolgt über Options
» Linear Scale
. Nun wird der zunächst flache Verlauf der Spannungsverstärkung für geringe Frequenzen und der Abfall für höhere Frequenzen sehr deutlich. Auch die Grenzfrequenz ist im „Knick“ ablesbar.
Die Phase kann über Options
» Show Phase
sichtbar gemacht werden.
Das Bodediagramm ermöglicht die Darstellung einer komplexwertigen, frequenzabhängigen Größe in logarithmischer Form. Es wird auch als Frequenzgang bezeichnet und unterteilt sich in (vgl. Abbildung 3):
Einen Sprung in der Frequenz um den Faktor $\times 10$ nennt man Dekade (abgekürzt Dek.).
Der Amplitudengang von verschiedenen Funktionen soll kurz besprochen werden ($\mathcal{C}$ ist dabei ein beliebiger frequenzunabhängiger Faktor):
Alternativ zum tatsächlichen Verlauf werden gelegentlich $|A_V(f)|$ und $\varphi(f)$ auch idealisiert mit Geradenstücken dargestellt.
Das Bodediagramm (=Frequenzgang) besteht aus:
Damit ergibt sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ eine Gerade.
Insbesondere gilt das für $A(\omega) \sim \omega$, also einer Steigung von +20dB/Dekade und für $A(\omega) \sim \frac{1}{\omega}$, also einer Steigung von -20dB/Dekade
Bisher wurden Operationsverstärker-Schaltungen betrachtet, in denen eine Gegenkopplung über ohmsche Widerstände geschah. Im folgenden sollen nun Operationsverstärker-Schaltungen mit speichernden Komponenten ($C$, $L$) analysiert werden.
In der Elektronik wird dabei nur selten auf Induktivitäten zurückgegriffen. Dies hat verschiedene Ursachen:
Statt Induktivitäten werden in der Mikroelektronik und der Filtertechnik für Sensorsignale Kondensatoren genutzt. Die gebildeten passiven Schaltungen werden entsprechen auch $R$-$C$-Glieder genannt und wurden in Elektrotechnik 2 analysiert.
Als Grundschaltung wird im folgenden ein abgewandelter, invertierter Verstärker genutzt (Abbildung 4) in dem einer oder beide ohmsche Widerstände durch (komplexwertige) Impedanzen ersetzt.
Für erste Schaltung soll nur der Teil zwischen Ausgangsspannung $U_A$ und virtueller Masse durch einen Kondensator ersetzt werden (Abbildung 5).
Die erste aktive Filterschaltung ist rechts in der Simulation zu sehen. Durch die überlagerten Rechteckspannungsquellen ergibt sich als Eingangsspannung eine Stufenfunktion. Diese erzeugt über das RC-Glied einen Strom. Betrachtet man nun die Ausgangsspannung im Vergleich zur Eingangsspannung, so kann festgestellt werden, dass:
Die so erstellte Schaltung wird Umkehrintegrator genannt.
Betrachtet man die Schaltung so ist ersichtlich, dass der Knoten $K_1$ auf virtueller Masse liegt. Bei einer konstanten Eingangsspannung ist der Eingangsstrom ist also konstant und nur durch den Widerstand definiert. Damit lädt sich der Kondensator mit einem konstanten Strom auf; die Ladung steigt linear. Die Spannung über den Kondensator steigt somit auch linear.
Genauso wie in bei den Grundschaltungen soll nun der Zusammenhang zwischen Ausgangswert und Eingangswert mathematisch ermittelt werden. In Abbildung 5 sind dazu die Maschen eingezeichnet. Es soll nun hier die Übertragungsfunktion $U_A = f(U_E)$ ermittelt werden.
$A_V = ? \quad -> \quad U_A = f(U_E) $
Gegeben sind folgende Gleichungen:
I. | Grundgleichung | $U_A = A_D \cdot U_D$ |
II. | Masche 1 | $ -U_E+U_R-U_D=0 $ |
III. | Masche 2 | $U_D+U_C+U_A=0$ |
IV. | Knoten | $I_R=I_C$ |
V. | Kapazität C | $C= { Q \over U_C } = { 1 \over U_C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C dt+ Q_0(t_0)) $ |
VI. | Widerstand R | $R = { U_R \over I_R }$ |
Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts „►“ führt zum nächsten Schritt, alternative Darstellung):
Anhand eines Beispiels soll der Signal-Zeit-Verlauf am Umkehrintegrator erklärt werden.
Lösung:
Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts „►“ führt zum nächsten Schritt, alternative Darstellung):
Wird am Umkehrintegrator eine konstante Eingangsspannung $U_E$ angelegt, so entspricht die Ausgangsspannung $U_A$ nach der Zeitkonstante $\tau$ gerade $-U_E$ (siehe Abbildung 6, hellgrauer Pfeil).
Um Betrag und Phase ermitteln zu können, sollen zunächst rein sinusförmige Eingangs- und Ausgangsgrößen betrachtet werden.
Als Eingangsspannung $U_E$ wird folgende Funktion genutzt:
$ U_E(t)= \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$
Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden:
Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts „►“ führt zum nächsten Schritt, alternative Darstellung):
Der Betrag $|A_V|$ ist über das Amplitudenverhältnis von $\hat{U}_A \over \hat{U}_E$ gegeben: $$|A_V|={\hat{U}_A \over \hat{U}_E} = {1 \over {\omega \cdot R\cdot C}} $$
Die Phase lässt sich aus dem „zeitlichen Versatz“ des Spitzenwerts von Eingangsspannung $U_E = \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$ und Ausgangsspannung $U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$ ermitteln. Die Phase ist durch die Betrachtung der trigonometrischen Funktionen und dem Vorzeichen gegeben:
$U_E = + \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$
$U_A = + \hat{U}_A \cdot cos(\omega \cdot t) = + \hat{U}_A \cdot sin(\omega \cdot t + 90°)$
$ \rightarrow \ \varphi = 90°$
Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$) betrachtet werden. Für Betrag $|A_V|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich:
$ |A_V({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$
$ |A_V({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$
$\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$
Aus diesen Randbedingungen lässt sich bereits der Frequenzgang skizzieren, siehe Abbildung 7.
In den vorherigen Kapiteln war zu sehen, dass die Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen bereits bei einer einfachen Schaltung wie dem Umkehrintegrator sehr zäh und rechenintensiv ist. Es soll nun die komplexe Rechnung als eine Methode betrachtet werden, welche die Analyse solcher Schaltungen vereinfacht. Für die komplexe Rechnung werden die Widerstände und Kapazitäten durch komplexe Impedanzen ersetzt:
$U_R=R\cdot I \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow \underline{U}_R = R \cdot \underline{I}$
$U_C={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0)) \qquad \rightarrow \underline{U}_C = \underline{Z}_C \cdot \underline{I} \quad$ mit $\quad \underline{Z}_C= \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}$
Diese Betrachtung kann aber nur unter bestimmten Randbedingungen umgesetzt werden:
Damit kann nun die Schaltung (Abbildung 8) berechnet werden:
$\underline{Z}_1=R$
$\underline{Z}_2=\frac{1}{j \cdot \omega \cdot C} = \frac{-j}{\omega \cdot C}$
Von der Grundschaltung des invertierenden Verstärkers ist dessen Spannungsverstärkung bekannt:
$A_V = \frac{U_A}{U_E}=-\frac{R_2}{R_1}$
Dies ergibt im Komplexen:
$\underline{A}_V = \frac{\underline{U}_A}{\underline{U}_E}=-\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1} = \frac{j}{\omega \cdot R \cdot C} $
Aus der Formel | Aus der Schaltung |
---|---|
$\underline{A}_V \xrightarrow{\omega \rightarrow 0} \infty$ | Für $\omega \rightarrow 0$ wird aus dem Kondensator eine hochohmiger Widerstand Der Operationsverstärker muss für $\underline{U}_D \rightarrow 0$ eine Ausgangspannung von $\underline{U}_A \rightarrow \infty$ ausgeben. |
$\underline{A}_V \xrightarrow{\omega \rightarrow \infty} 0$ | Für $\omega \rightarrow \infty$ wird aus dem Kondensator ein Kurzschluss Der Operationsverstärker muss für $\underline{U}_D \rightarrow 0$ eine Ausgangspannung von $\underline{U}_A \rightarrow 0$ ausgeben. |
Als Betrag $A_V$ ergibt sich:
$|\underline{A}_V|= \frac{1}{\omega \cdot R \cdot C} \sim \frac{1}{f}$
Speziell wird ergibt sich für einen Betrag von $|\underline{A}_V(0dB)|$ bei $0dB$:
$|\underline{A}_V(0dB)|\overset{!}{=} 1 \widehat{=} 0dB \rightarrow \omega(0dB) = \frac{1}{R \cdot C}$
Die Phase $\varphi$ berechnet sich über
$\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{\omega \cdot R \cdot C}{0} \right) = arctan \left( \infty \right) = +90°$
Die Phase $\varphi=+90°$ für $arctan(x)|_{x\rightarrow \infty}$ ist auch aus dem Verlauf des Arkustangens (Abbildung 9) für $x \rightarrow \infty$ ersichtlich.
Der Frequenzgang soll anhand eines Beispiels dargestellt werden.
Lösung
Eine weitere Schaltung lässt sich aus dem Umkehrintegrator ableiten. Dazu soll der bisherig rein kapazitive Wert der Impedanz zwischen Ausgangsseite und virtueller Masse durch einen ohmschen Anteil ergänzt werden. Diese Schaltung ist in Abbildung 11 zu sehen. Im Folgenden soll diese Schaltung
In der Simulation rechts ist die Schaltung aus <imref pic7_1> nochmals dargestellt. Zusätzlich sind in der Schaltung zwei Schalter $S1$ und $S2$ verbaut, durch welche die verschiedenen Rückkoppelpfade deaktiviert werden können:
In der Simulation ist unten das Bode-Diagramm skizziert. Mit Klick auf das Bode-Diagramm wird die zur Frequenz passende Aufteilung des Stroms in der Schaltung dargestellt und - neben dem Bode-Diagramm - auch die Verstärkung in $dB$, bzw. die Phase in Grad.
Aus der Betrachtung des Kondensators für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ kann der Verlauf von Betrag der Spannungsverstärkung und Phase analysiert werden.
Daraus wird ersichtlich, dass
Aus der Extremalwertbetrachtung lässt sich ein Bodediagramm abschätzen.
Frequenzgang:
Phasengang:
Für den Zwischenbereich muss es einen Übergang zwischen den beiden extremalen Situationen geben.
Ein Problem scheint noch zu sein, dass für den invertierenden Verstärker nicht klar ist, ob die Phase nun $+180°$ oder $-180°$ ist. In der mathematischen Betrachtung des Umkehrintegrator hat sich herausgestellt, dass für einen Kondensator ein Integrationsschritt ($U=\frac{1}{C} \int I_C \ dt$) durchgeführt werden muss. Im invertierenden Verstärker war kein Integrationsschritt notwendig. Damit wird ein sinusförmiges Eingangssignal maximal um 90° verschoben. Es muss also von invertierenden Verstärker bei niedrigen Frequenzen gerade $90°$ Phasenverschiebung zu hohen Frequenzen geben.
Aus diesen Kenntnissen ergibt sich ein erwartetes Bodediagramm wie in Abbildung 12 zu sehen.
Folgende Regeln gelten für Filter:
In der Schaltung verhält sich die Parallelschaltung $R_2$ und $C$ wie ein passives RC-Glied. Das bedeutet, es wirkt sich auf das Frequenzverhalten aus. Bei einer bestimmten Frequenz verhält sich die Schaltung gerade so, dass der Strom hälftig über $R_2$ und $C$ läuft, also „halb“ wie ein invertierender Verstärker und „halb“ wie ein Umkehrintegrator wirkt. Diese Frequenz ist die Grenzfrequenz $f_{Gr}$:
Dafür gilt:
$|\underline{X}_C|=R_2$
$\frac{1}{\omega_{Gr} \cdot C}=R_2 \rightarrow \omega_{Gr} = \frac{1}{R_2 \cdot C} = 2\pi \cdot f_{Gr}$
$\boxed{f_{Gr} = \frac{1}{2\pi \cdot R_2 \cdot C}} $
Es soll nun die Schaltung wieder mittels komplexer Rechnung analysiert werden. Dabei der werden die Impedanzen wieder als komplexe Zahl aufgefasst. Den Ausgangspunkt bildet wieder die Spannungsverstärkung des (komplexen) invertierenden Verstärker. Dabei werden die Impedanzen aus Abbildung 11 berücksichtigt:
$\underline{A}_V=\frac{-\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1}=\frac{-R_2||C}{R_1}=\frac{-\frac{R_2 \cdot \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}}{R_2 + \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}}}{R_1}=\frac{-R_2}{R_1 \cdot R_2 \cdot \omega \cdot C + R_1}$
$\boxed{\underline{A}_V= - \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1 + j \omega \cdot R_2 \cdot C}}$
Für die Berechnung des Betrags $A_V$ kann ein „Trick“ angewandt werden. Prinzipiell kann der Betrag immer durch die Multiplikation mit dem konjungiert komplexen Wert ermittelt werden. Hier ist es aber einfacher den Betrag des Bruchs über den Betrag von Zähler und Betrag von Nenner zu berechnen:
$|\underline{A}_V| = |\mathcal{a} \cdot \frac{\mathcal{b}}{\mathcal{c}}| = |\mathcal{a}| \cdot \frac{|\mathcal{b}|}{|\mathcal{c}|}$
Damit ergibt sich für den Betrag:
$\boxed{|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}}$
Für die Phase $\varphi$ muss nun doch Realwert $\Re(\underline{A}_V)$ und Imaginärwert $\Im(\underline{A}_V)$ über die Multiplikation mit dem konjungiert komplexen Wert ermittelt werden.
$\varphi = arctan(\frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)})$
Aber auch hier gibt es einen „Trick“:
$\underline{A}_V= \color{blue}{- \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1 + j \omega \cdot R_2 \cdot C}} \cdot \frac{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}{\color{blue}{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}}$
Es wird ja gerade der konjungiert komplexe Wert multipliziert, um einen reellen Nenner zu erhalten. Damit ist der blau markierte Teil eine reale Konstante $\mathcal{C}$, da alle Faktoren der Konstante real sind:
$\underline{A}_V= \color{blue}{\mathcal{C}} \cdot (1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C)$
Damit ergibt sich die Phase $\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{\Im(\underline{A}_V)}}{\color{brown}{\Re(\underline{A}_V)}}\right)$ als
$\underline{A}_V= \mathcal{C} \cdot (\color{brown}{1} + j \cdot (\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}))$
$\boxed{\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}}{\color{brown}{1}}\right)}$
Für den Betrag ergibt sich
Für die Ermittlung der Phase $\color{red}{\varphi} = arctan\left(\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}\right)$ hilft es den Arkustangens im Diagramm zu betrachten. Dazu wird das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ gegen die Phase $\color{red}{\varphi}$ aufgetragen (Abbildung 13). Für die Extremalwerte $\omega$ von ergibt sich:
Im Diagramm ist durch den Regler oben links das Argument $Arg$ veränderbar. Der Verlauf im Diagramm muss kontinuierlich sein, da auch das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ zwischen $-0$ und $-\infty$ kontinuierlich verläuft. Das ist nur auf dem oberen Ast möglich: Der Punkt $Arg \rightarrow -0$ entspricht dann gerade dem Annähern an die y-Achse (hier $\color{red}{\varphi}$-Achse) von links in Abbildung 13. Der Punkt $Arg \rightarrow -\infty$ entspricht dem Weg nach links im Diagramm.
Daraus ergibt sich ein Verlauf der Phase $\color{red}{\varphi}$ von $\color{red}{\varphi}(\omega \rightarrow -0)=\pi = 180°$ zu $\color{red}{\varphi}(\omega \rightarrow -\infty)=\frac{\pi}{2} = 90°$.
Bei der Grenzfrequenz lässt sich auch so verstehen, dass dort gerade der Übergang vom invertierenden Verstärker zum Umkehrintegrator stattfindet. Im Bode-Diagramm (Abbildung 12) ist die Grenzfrequenz gerade beim Schnittpunkt der Geraden für invertierenden Verstärker und Umkehrintegrator zu finden.
Es ergibt sich also für die Grenzfrequenz $f_{Gr}$
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{\omega_{Gr} R_1 \cdot C}$
$\omega_{Gr} = \frac{1}{ R_2 \cdot C} = 2 \pi \cdot f_{Gr}$
Bei der Grenzfrequenz ergibt sich ein Betrag von:
$|\underline{A}_{V,Gr}| = \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega_{Gr} \cdot R_2 \cdot C)^2}}= \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\frac{1}{ R_2 \cdot C} \cdot R_2 \cdot C)^2}} = \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\boxed{|\underline{A}_{V,Gr}| = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{R_2}{R_1} = -3dB + |\underline{A}^{dB}_V(\omega \rightarrow 0)|}$
Die Phase bei der Grenzfrequenz ist:
$\varphi_{Gr} = arctan\left(-\omega_{Gr} \cdot R_2 \cdot C\right) = arctan\left(-\frac{1}{ R_2 \cdot C} \cdot R_2 \cdot C\right) = arctan\left(-1 \right)$
$\boxed{\varphi_{Gr} = \frac{3}{4} \pi =135°}$
Aufgrund der Abschwächung der niederfrequenten Verstärkung um $-3dB$ bei der Grenzfrequenz wird diese auch $-3dB$-Grenzfrequenz genannt.
In Abbildung 14 ist ein Umkehrdifferentiator dargestellt. Im Vergleich zum Integrator ist hier gerade der Widerstand und der Kondensator vertauscht.
In der Simulation daneben ist die Wirkung der Schaltung zu sehen: die Ableitung des invertierten Eingangssignal wird am Ausgang ausgegeben. Die Ableitung an den Umkehrpunkten („Spitzen“) des Signals ist nicht ermittelbar (siehe Differenzierbarkeit der Betragsfunktion). Dies führt bei der Simulation zu Problemen bei der Berechnung und ist als Überschwingen bzw. „Ausschlag“ bei $U_A$ zu sehen. Um diese zu reduzieren, ist ein (im Verhältnis zum Rückkoppelwiderstand) kleiner Widerstand hinter dem Kondensator eingefügt.
Im Folgenden soll ohne Herleitung nur auf die Ergebnisse eingegangen werden.
Die Schaltungsanalyse über Differentialgleichung ergibt:
$\boxed{U_A = - R \cdot C \frac{d}{dt}U_E}$
Mit komplexer Rechnung wird die Übertragungsfunktion zu:
$\boxed{\underline{A}_V=-j \cdot \omega \cdot R \cdot C}$
Daraus lässt sich das in Abbildung 15 abgebildete Bode-Diagramm ermitteln.
Leiten Sie für den in Abbildung 14 dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, sowie deren Betrag und Phase mittels komplexer Rechnung wie für den umkehrintegrator dargestellt her. Setzen Sie dabei folgende Schritte um:
Aus dem Umkehrdifferentiator lässt sich ein Hochpass erstellen, wenn die rein kapazitive Impedanz für $Z_1$ geeignet über einen ohmschen Anteil erweitert wird (Abbildung 16). Die Simulation oben zeigt diesen Hochpass. Aus diesem bildet sich bei geschlossenem Schalter $S1$ und offenem Schalter $S2$ ein Umkehrintegrator. Bei umgekehrter Schalterstellung bildet sich ein invertierender Verstärker. In der Simulation ist durch Klick auf einen Frequenzpunkt wieder die Aufteilung der Ströme zu sehen.
Mit komplexer Rechnung ergibt sich hierfür: $\boxed{\underline{A}_V = - \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}{1 + j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}} $
Daraus lässt sich das in Abbildung 17 abgebildete Bode-Diagramm ermitteln.
Im vorangegangenen Kapitel wurde die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass (vgl. Abbildung 16) hergeleitet werden.
Leiten Sie für folgende Pegel in dB den linearen Faktor her. Geben Sie an, wie dieser Faktor jeweils über die Stützstellen 20 dB ≙ Faktor 10 und 6 dB ≙ Faktor 2 ermittelt werden kann.
Lösen Sie die Aufgabe ohne Taschenrechner
(Hinweis: $\sqrt{2}\approx 1,414$, ${1\over\sqrt{2}}\approx 0,707$)
Als Beispiel ist für den Wert $10 dB$ die Herleitung skizziert.
Pegel | über Stützstellen in dB | über Stützstellen linear | linearer Faktor |
---|---|---|---|
$10 dB$ | $5 \cdot 6 dB - 20 dB$ | $2^5 \cdot {1\over 10}$ | $3,2$ |
$2 dB$ | |||
$4 dB$ | |||
$6 dB$ | |||
$8 dB$ | |||
$12 dB$ | |||
$14 dB$ | |||
$16 dB$ | |||
$18 dB$ | |||
$15 dB$ | |||
$79 dB$ | |||
$128 dB$ |
Gegeben sei nebenstehende Schaltung mit $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ und einer sinusförmigen Eingangsspannung $U_E = 1 V $ mit $f = 1 kHz$. Wie im Kurs beschrieben, lässt sich das Bode-Diagramm in Tina TI über Analysis > AC Analysis > AC Transfer Characteristic darstellen. Relevant sind im folgenden Frequenzen von 100 Hz bis 1 GHz.
Element | Lizenz | Link |
---|---|---|
Abbildung 9: Verlauf des Arcustangens | CC-BY-SA 4.0 | https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent.svg |