Aufgabe 1.7.6: temperaturabhängiger Widerstand einer Wicklung (Klausuraufgabe, ca 6% einer 60minütigen Klausur, WS2020)
Auf dem Rotor eines Asynchronmotors sind die Wicklungen in Kupfer ausgelegt. Die Länge des Wickeldrahts ist 40 m. Der Durchmesser ist 0,4 mm.
Beim Start des Motors ist dieser gleichmäßig auf die Umgebungstemperatur von 20°C abgekühlt.
Im Betrieb haben die Wicklungen auf dem Rotor eine Temperatur von 90°C.
$\alpha_{Cu,20°C}=0,0039 \frac{1}{K}$
$\beta_{Cu,20°C}=0,6 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K^2}$
$\rho_{Cu,20°C}=0,0178 \frac{\Omega mm^2}{m}$
Verwenden Sie sowohl den linearen als auch quadratischen Temperaturkoeffizienten! 1. Bestimmen Sie den Widerstand der Leitung für $T = 20°C$.
\begin{align*}
R_{20°C} &= \rho_{Cu,20°C} \cdot \frac{l}{A} && | \text{mit } A = r^2 \cdot \pi = \frac{1}{4} d^2 \cdot \pi \\
R_{20°C} &= \rho_{Cu,20°C} \cdot \frac{4 \cdot l}{d^2 \cdot \pi} && \\
R_{20°C} &= 0,0178 \frac{\Omega mm^2}{m} \cdot \frac{4 \cdot 40m}{(0,4mm)^2 \cdot \pi} && \\
\end{align*}
\begin{align*}
R_{20°C} &= 5,666 \Omega -> 5,7 \Omega \\
\end{align*}
2. Welche Widerstandserhöhung $\Delta R$ ist zwischen $20°C$ und $90°C$ bei einer Wicklung festzustellen?
\begin{align*}
R_{90°C} &= R_{20°C} \cdot ( 1 + \alpha_{Cu,20°C} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°C} \cdot \Delta T^2 ) && | \text{mit } \Delta T = T_2 - T_1 = 90°C - 20°C = 70 °C = 70 K\\
\Delta R &= R_{20°C} \cdot ( \alpha_{Cu,20°C} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°C} \cdot \Delta T^2 ) \\
\Delta R &= 5,666 \Omega \cdot ( 0,0039 \frac{1}{K} \cdot 70K + 0,6 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K^2} \cdot (70K)^2 ) \\
\end{align*}
\begin{align*}
\Delta R &= 1,56 \Omega -> 1,6 \Omega \\
\end{align*}