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2. Einfache Gleichstromkreise

Bisher wurden nur einfache Stromkreise aus einer Quelle und einem mit Leitungen verbundenen Verbraucher betrachtet.
Im Folgenden werden kompliziertere Schaltungsanordnungen analysieren. Diese beinhalten zunächst nur eine Quelle, aber mehrere Leitungen und viele ohmsche Verbraucher (vgl. Abbildung ##).

2.1 ideale Bauelemente

Jeder elektrische Stromkreis besteht aus drei Elementen:

1. Verbraucher: Verbraucher wandeln die elektrische Energie in eine nicht rein-elektrische Energie um.
   z.B.
   1. in elektrostatische Energie (Kondensator)
   2. in magnetostatische Energie (Magnet)
   3. in elektromagnetische Energie (LED, Glühbirne)
   4. in mechanische Energie (Lautsprecher, Motor)
   5. in chemische Energie (Laden eines Akkumulators)
2. Erzeuger (Quellen): Erzeuger wandeln die Energie aus einer anderen Energieform in elektrisch Energie. (z.B. Generator, Batterie, Photovolatik)
3. Verbindungen (bzw. Stromnetz): die Verbindungsleitungen verknüpfen Verbraucher mit Quellen.

Diese Elemente sollen im Folgenden näher betrachtet werden.

Verbraucher

• Der umgangssprachlicher Begriff Verbraucher steht in der Elektrotechnik für einen elektrischen Verbraucher - also einem Bauteil, welches die elektrische Energie in eine andere Energieform wandelt.
• Ein Widerstand wird häufig auch als Verbraucher bezeichnet. Neben den reinem ohmschen Verbraucher existieren aber auch ohmsch-induktive Verbraucher (z.B. Spulen im Motor) oder ohmsch-kapazitive Verbraucher (z.B. verschiedene Netzteile durch Kondensatoren am Ausgang). Entsprechend ist die Gleichsetzung von Widerstand und Verbraucher falsch.
• Strom-Spannungs-Kennlinien (vgl. Abbildung 2)
  • Strom-Spannungs-Kennlinien eines Verbrauchers verlaufen immer durch den Ursprung, da ohne Strom keine Spannung anliegt und umgekehrt.
  • Ohm'sche Verbraucher besitzen eine lineare Strom-Spannungs-Kennlinie, welche durch einen einzigen Zahlenwert beschrieben werden kann.
    Die Steigung in der $U$-$I$-Kennlinie ist die Leitfähigkeit: $I = G \cdot U = {{U}\over{R}}$

Quellen

• Quellen wirken als Erzeuger elektrischer Energie
• Es werden ideale und reale Quellen unterschieden.
  Die realen Quellen werden im nachfolgenden Kapitel (Lineare Quellen und Zweipole) beschrieben.

Die ideale Spannungsquelle erzeugt eine definierte Ausgangsspannung $U_q$. Um diese Spannung zu halten kann sie einen beliebigem Strom abgeben. Die Strom-Spannungs-Kennlinie stellt dies auch dar (siehe Abbildung 3).
Das Schaltzeichen zeigt einen Kreis mit zwei Anschlüssen. Im Kreis sind die beiden Anschlüsse kurzgeschlossen.
Eine weiteres Schaltzeichen zeigt den negativen Anschluss der Spannungsquelle als „dickes Minus“, der positive Anschluss ist breiter gezeichnet.

Die ideale Stromquelle erzeugt eine definierten Ausgangsstrom $I_q$. Damit dieser Strom fließen kann, ist eine beliebigem Spannung an ihren Klemmen möglich. Die Strom-Spannungs-Kennlinie stellt dies auch dar (siehe Abbildung 4).
Das Schaltzeichen zeigt einen Kreis mit zwei Anschlüssen. Im Kreis sind die beiden Anschlüsse offengelassen und eine Linie senkrecht dazu gezeichnet.

Verbindungen

• Die ideale Verbindungsleitung ist widerstandsfrei und übermittelt Strom und Spannung instantan.
• Real vorhandene Einflüsse (z.B. Spannungsabfall) von Verbindungen werden über separat gezeichnete Bauteile (z.B. ohmschen Widerstand) berücksichtigt.

2.2 Bezugspfeile und erste Betrachtung eines Gleichstromkreises

Im Kapitel Grundlagen wurde bereits der konventionelle (=dem Konventionen entsprechende) Richtungssinn von Strömen und Spannungen besprochen. Leider ist bei vermaschten Netzen häufig vor der Berechnung nicht überschaubar in welche Richtung der konventionelle Richtungssinn aller Ströme und Spannungen verläuft.

in Abbildung 5 ist ein solches vermaschtes Netz gezeigt. In dieser Schaltung ist ein Schalter $S_1$ und ein Strom $I_2$ gekennzeichnet.
Wird über den Schalter $S_1$ der Widerstand gewechselt, so ändert sich die Richtung des Stroms $I_2$

Erzeuger- und Verbraucher(bezugs)pfeilsysteme

2.3 Knoten, Zweige und Maschen

Elektrische Stromkreise haben typischerweise die Struktur von Netzen. Netze bestehen aus zwei elementaren Strukturelementen:

1. Zweige/Kanten: Verbindungen zwischen zwei Knoten
2. Knoten: Verbindungspunkte mehrerer Zweige

Bei elektrischen Schaltkreisen ist zu beachten:

1. Zweige beinhalten mindestens ein Bauteil.
2. Knoten verbinden mehr als zwei Zweige und können auch räumlich ausgedehnt sein.

Zweige in elektrischen Netzwerken bezeichnet man als Zweipole. Ihr Verhalten wird durch Strom-Spannungs-Kennlinien beschrieben und im Kapitel Lineare Quellen und Zweipole näher erklärt.

Zudem soll noch ein weiterer Begriff erklärt werden:
Eine Masche ist ein geschlossener Weg im Netz. Das heißt eine Masche beginnt und endet am gleichen Knoten und läuft über mindestens einen weiteren Knoten.

Da auch ein Voltmeter als Komponente zwischen zwei Knoten vorhanden sein kann, ist es auch möglich eine Masche über eine Angabe einer Spannung zu schließen (vgl. $U_1$ in Abbildung 10).

Im Gegensatz zu den anderen Ursache-Wirkungs-Beziehungen ändert sich bei den vernetzten Stromkreisen fast immer das gesamte Verhalten, wenn in einem Zweig / an einem Knoten eine Änderung auftritt.
Dies ist vergleichbar mit anderen Änderungen in anderen Netzen, z.B. einem Stau im Straßennetz, aufgrund dessen andere Straßen eine höhere Belastung erfahren. Für die Elektrotechnik bedeutet dies, dass bei sich ändernde Schaltungen eine Ermittlung der Zusammenhänge (Formeln, Strom-Spannungs-Kennlinien) häufig im Vordergrund steht und nicht ein einzelner Zahlenwert.

Vereinfachungen

Mit der Kenntnis von Knoten, Zweigen und Maschen lassen sich Schaltungen vereinfachen. Schaltungen lassen sich beliebig umformen, solange nach der Umformung alle Zweige an den gleichen Knoten bleiben Die Abbildung 11 zeigt wie eine solche Umformung möglich ist.

Bei praktischen Aufgaben kann ein wiederholtes Ausprobieren sinnvoll sein. Wichtig dabei ist eine nachträgliche Kontrolle, dass an jedem Knoten die selben Komponenten wie vor der Umwandlung angeschlossen sind.

Weitere Beispiele sind in folgendem Video zu finden

2.4 Kirchhoffsche Gleichungen

Der Knotensatz (1. Kirchhoffsche Gleichung)

Der Knotensatz formuliert in der Sprache der Mathematik die Erfahrung, dass sich in elektrischen Leitern keine Ladungs„anhäufungen“ auftreten. Dies ist von besonderer Relevanz an einem Netzknoten (Abbildung 14). Zur Formulierung der Gleichung werden bei diesem Netzknoten die Bezugspfeile der Ströme alle in gleicher Weise festgelegt. Das heißt: alle zeigen vom Knoten weg oder auf ihn zu.

Parallelschaltung von Widerständen

Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (Abbildung 15):

Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Maschensatz:

$\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$

$\rightarrow \large{{{1}\over{R_1}}+ {{1}\over{R_2}}+ ... + {{1}\over{R_n}}= {{1}\over{R_{ersatz}}} = \sum_{x=1}^{n} {{1}\over{R_x}}}$

Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: $G_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$

Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$

Stromteiler

Aus dem Knotensatz lässt sich auch die Stromteiler-Regel herleiten.
Diese besagt, dass sich bei parallel geschalteten Widerständen $R_1, ... R_n$ deren Ströme $I_1, ... I_n$ sich gerade so verhalten wie die Leitwerte $G_1, ... G_n$ durch welche sie fließen.

$\large{{I_1}\over{I_g}} = {{G_1}\over{G_g}}$

$\large{{I_1}\over{I_2}} = {{G_1}\over{G_2}}$

Der Maschensatz (2. Kirchhoffsche Gleichung)

Auch der Maschensatz beschreibt in in der mathematischen Sprache eine praktischer Erfahrung: Zwischen zwei Punkten $a$ und $b$ eines Netzwerks ergibt sich nur eine Potentialdifferenz. Die Potentialdifferenz ist damit insbesondere unabhängig davon auf welchem Weg ein Netzwerk zwischen den zwei Punkten $1$ und $2$ durchlaufen wird. Dies lässt sich durch die Betrachtung von Maschen beschreiben.

Beweis des Maschensatzes

Drückt man die Spannungen in Abbildung 17 durch die Potentiale in den Knotenpunkten aus, so ergibt sich:

$U_{12}= \varphi_1 - \varphi_2 $
$U_{23}= \varphi_2 - \varphi_3 $
$U_{34}= \varphi_3 - \varphi_4 $
$U_{41}= \varphi_4 - \varphi_1 $

Werden diese Spannungen in die Maschengleichung eingesetzt, so wird

$U_{12}+U_{23}+U_{34}+U_{41} = 0$

Reihenschaltung von Widerständen

Über den Maschensatz lässt sich der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung (<imref BildNr13>) leicht ermitteln:

$U_1 + U_2 + ... + U_n = U_g$

$R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2 + ... + R_n \cdot I_n = R_{ersatz} \cdot I $

Da bei der Reihenschaltung der Strom durch alle Widerstände gleich sein muss - also $I_1 = I_2 = ... = I$ - ergibt sich:

$R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} R_x $

2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler

Speziell die Hintereinanderschaltung von zwei Widerständen $R_1$ und $R_2$ soll nun näher betrachtet werden. Diese Situation tritt in vielen praktischen Anwendungen auf (z.B. Potentiometer). In Abbildung 19 ist diese Schaltung dargestellt.

Über die Maschengleichung ergibt sich

$\boxed{ {{U_1}\over{U}} = {{R_1}\over{R_1 + R_2}} }$

Das Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$ entspricht auch der Position an einem Potentiometer.

Der belastete Spannungsteiler

Wird - im Gegensatz zum obigen, unbelasteten Spannungsteiler - an den Ausgangsklemmen eine Last $R_L$ angeschlossen (Abbildung 21), so beeinflusst diese die Ausgangsspannung.

Durch eine Schaltungsanalyse ergibt sich:

$ U_1 = \LARGE{{{U} \over {1 + {{R_2}\over{R_L}} + {{R_2}\over{R_1}} }} }$

bzw. an einem Potentiometer mit $k$ und $R_s = R_1 + R_2$:

$ U_1 = \LARGE{{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}} }} }$

2.6 Stern-Dreieck-Schaltung

Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (Abbildung ##). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen vorhanden sind (Abbildung 26). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden.

Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (Abbildung 27).

Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche?

Auch in für diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen.
Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein.

Dazu sollen nun die verschiedenen Widerstände zwischen den einzelnen Knoten $a$, $b$ und $c$ betrachtet werden, siehe Abbildung 28. Es soll herausgefunden werden wie aus einer Stern-Schaltung eine Dreieck-Schaltung entwickelt werden kann (und umgekehrt).

Dreieckschaltung

Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten.

Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Sternwiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Sternwiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$:

$R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $
$R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} $

Gleiches gilt für die anderen Anschlüssen. Damit ergibt sich:

\begin{align*} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1} \end{align*}

Sternschaltung

Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, diese aber in Sternform. Die Sternwiderstände sind also alle mit einem weiteren Knoten $0$ in der Mitte verbunden: $R_{a0}^1$, $R_{b0}^1$ und $R_{c0}^1$

Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: der Widerstand zwischen zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird ermittelt, der weitere Anschluss ($c$) wird als offen betrachtet. Der Widerstand des weiteren Anschlusses ($R_{c0}^1$) ist nur an einer Seite angeschlossen. Dadurch fließt durch diesen kein Strom - er ist damit nicht zu berücksichtigen. Es ergibt sich:

\begin{align*} R_{ab} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \\ R_{bc} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \\ R_{ca} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.2} \end{align*}

Aus den Gleichungen $(2.6.1)$ und $(2.6.2)$ erhält man:

\begin{align} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \tag{2.6.3} \end{align} \begin{align} R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \tag{2.6.4} \end{align} \begin{align} R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.5} \end{align}

Die Gleichungen $(2.6.3)$ bis $(2.6.5)$ lassen sich nun so geschickt zusammenfassen, dass auf einer Seite nur noch ein Widerstand steht.
Eine Variante ist die Formeln als ${{1}\over{2}} \cdot \left( (2.6.3) + (2.6.4) - (2.6.5) \right)$ bzw. ${{1}\over{2}} \cdot \left(R_{ab} + R_{bc} - R_{ca}\right)$ zu kombinieren. Damit ergibt sich $R_{b0}^1$

\begin{align*} {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} + {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} - {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( R_{a0}^1 + R_{b0}^1 + R_{b0}^1 + R_{c0}^1 - R_{c0}^1 - R_{a0}^1 \right) \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)} + {R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)} - {R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( 2 \cdot R_{b0}^1 \right) \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 R_{ca}^1 + R_{ab}^1 R_{bc}^1 + R_{bc}^1 R_{ab}^1 + R_{bc}^1 R_{ca}^1 - R_{ca}^1 R_{bc}^1 - R_{ca}^1 R_{ab}^1}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= R_{b0}^1 \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{ 2 \cdot R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= R_{b0}^1 \\ {{ R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} &= R_{b0}^1 \\ \end{align*}

Auf ähnlichem Weg kann man nach $R_{a0}^1$ und $R_{c0}^1$, sowie mit etwas abgewandeltem Ansatz auch auf $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ auflösen.

Mit diesen Formeln lässt sich nun auch das anfängliche Beispiel umwandeln. Bei komplizierteren Schaltungen ist die wiederholte Dreieck-Stern-Transformation mit anschließendem Zusammenfassen der Widerstände sinnvoll, solange bis die entstandene Schaltung leicht mit Knoten- und Maschensatz berechenbar wird (Abbildung 31).

2.7 Gruppenschaltung von Widerständen

In diesem Unterkapitel wird auf eine Methodik eingegangen, welche beim Umformen von Schaltungen helfen soll. In Unterkapitel 2.6 Stern-Dreieck-Schaltung wurde gegen Ende bereits ein Netzwerk so umgeformt, dass es keine dreieckigen Maschen mehr enthält. Nun soll dieses Vorgehen systematisiert werden.

Ausgangspunkt sind Aufgaben, bei denen für ein Widerstandsnetzwerk der Gesamtwiderstand, Gesamtstrom oder die Gesamtspannung berechnet werden muss.