Musterlösung Wintersemester 2020/2021

• Welches Feld herrscht in einem Raum vor, der vollständig durch einen leitfähigen Leiter umgeben wird?
• Wie verhält sich das Feld im Inneren eines Leiters?
• Erhöht oder sinkt die Feldstärke, wenn sich eine Ladung sich von einer anderen Ladung wegbewegt?
• Ist das Feld an bei einer Spitze höher oder niedriger?

1. Bei $b$ und $d$ ist kein Feld messbar, da der umgebene Leiter auf einem konstanten Feld liegt. Er ergibt sich keine Potentialdifferenz und damit auch kein Feld.
2. Bei $c$ ist ein Feld (Betrag >0) messbar, welches von der Ladung ($+1C$) zum länglichen Leiter ($-2C$) hinzeigt. Durch die Spitze kommt es zu einer Ladungsüberhöhung und damit zu einem höheren Feld.
3. Bei $a$ ist ein Feld (Betrag >0) messbar, welches von der Ladung ($+1C$) zum länglichen Leiter ($-2C$) hinzeigt.

$ b = d < a < c $

• Welche Gleichung ist für die Kraftwirkung von Ladungen anzuwenden?
• Wie lässt sich der Abstand zwischen den beiden Ladungen ermitteln?

\begin{align*} F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {r^2}}} \quad && | \text{mit } r=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\ F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {\Delta x^2 + \Delta y^2}}} \quad && | \text{Zahlenwerte einsetzen, Abstände ablesen: } \Delta x = 5dm, \Delta y = 3dm \\ F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot 8,854\cdot 10^{-12} F/m}} \cdot {{7 \cdot 10^{-6} C \cdot 5 \cdot 10^{-6} C} \over { (0,5m)^2 + (0,2m)^2}}} \end{align*}

\begin{align*} |F_C| = 1,084 N -> 1,1 N \end{align*}

• Welche Kraftwirkung zeigen gleich bzw. gegensätzlich geladene Körper aufeinander?

Die Kraft ist abstoßend, da beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben.

• Welche Gleichung ist für die Kraftwirkung im homogenen Feld anzuwenden?

\begin{align*} F_C &= E \cdot Q_1 \quad && | \text{Zahlenwerte einsetzen} \\ F_C &= 100 \cdot 10^3 V/m \cdot 7 \cdot 10^{-6} C \end{align*}

\begin{align*} |F_C| = 0,7 N \end{align*}

• Wie müssen die Kräfte vorbereitet werden, dass sie tatsächlich addiert werden können?

\begin{align*} F_0 &= |\vec{F_0}| \quad \quad \text{ mit } \vec{F_0} = \left( \begin{matrix}{F_{x,0}}\\ {F_{y,0}} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \sum\limits_{n} F_{x,0n} \\ \sum\limits_{n} F_{y,0n} \end{matrix} \right) \\ F_0 &= \sqrt{ \left(\sum\limits_{n} F_{x,0n} \right)^2 + \left(\sum\limits_{n} F_{y,0n} \right)^2 } \\ \end{align*}

Die vorhandenen Kräfte müssen in Koordinaten zerlegt werden. Hier empfehlen sich die orthogonalen Koordinaten ($x$ und $y$).
Das Koordinatensystem sei so ausgelegt, dass der Ursprung in $Q_0$ liegt mit der x-Achse in Richtung Q_3 und die y-Achse entsprechend rechtwinklig dazu.
Zur Koordinatenzerlegung sind die Winkel $alpha_{0n}$ der Kräfte zur x-Achse notwendig.
Diese ergeben sich im gewählten Koordinatensystem aus den Koordinaten der Ladungen: $\alpha_{0n} = atan(\frac{\Delta y}{\Delta x})$
$\alpha_{01} = atan(\frac{3}{1})= 1,249 = 71,6°$
$\alpha_{02} = atan(\frac{4}{3})= 0,927 = 53,1°$
$\alpha_{03} = atan(\frac{0}{3})= 0= 0°$

Dann ergeben sich die zerlegten Kräfte zu:

\begin{align*} F_{x,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{x,0n} = F_{0n} \cdot sin(\alpha_{0n}) \\ F_{x,0} &= (-5N) \cdot sin(71,6°) + (-6N) \cdot sin(53,1°) + (+3N) \cdot sin(0°) \\ F_{x,0} &= -2,18 N \\ \\ F_{y,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{y,0n} = F_{0n} \cdot cos(\alpha_{0n}) \\ F_{y,0} &= (-5N) \cdot cos(71,6°) + (-6N) \cdot cos(53,1°) + (+3N) \cdot cos(0°) \\ F_{y,0} &= -9,54 N \\ \\ \end{align*}

\begin{align*} F_0 &= \sqrt{ (-2,18 N)^2 + (-9,54 N)^2 } = 9,79 N -> 9,8 N \\ \end{align*}

• Wie lässt sich die Schaltung besser darstellen bzw. auseinanderziehen?
• Der Schalter sollt dabei durch eine offene Leitung ersetzt werden.

Zunächst bietet es sich an die Schaltung umzuformen, damit die eigentliche Struktur sichtbar wird.
Hierzu können die einzelnen Zweige farbig hervorgehoben und als „leitfähiges Gummiband“ interpretiert werden.
Es ergibt sich somit:

Damit lassen sich $R_3$ und $R_3$ zu $R_{33} = 2 \cdot R_3 = R_1$ zusammenfassen und es ergibt sich so ein linker und ein rechter Spannungsteiler.
Nun ist sichtbar, dass sich im linken und rechten Spannungsteiler das gleiche Potential am jeweiligen Abzweig, bzw. am Knoten K1 (grün) und K2 (pink).

Der Gesamtwiderstand lässt sich also berechnen als $R_{ges} = (2 \cdot R_1)||(2 \cdot R_1)$.
Durch die Symmetrie können aber auch die Knoten K1 und K2 kurzgeschlossen werden. Es gilt also auch $R_{ges} = 2 \cdot \left( R_1||R_1 \right)$.

\begin{align*} R_{ges} &= 2 \cdot \left( 10 \Omega || 10 \Omega \right) = 10 \Omega \end{align*}

Aufgrund der Symmetrie sind die Potentiale an K1 und K2 gleich. Damit fließt selbst bei geschlossenem Schalter kein Strom über den Widerstand $R_2$.
Der Widerstand bleibt also gleich.

• Wie lässt sich die Schaltung besser darstellen bzw. auseinanderziehen?
• Schalter (falls vorhanden) sollten dabei durch eine offene oder kurzgeschlossene Leitung ersetzt werden.
• Ergeben sich gleiche Potentiale an verschiedenen Knoten, die geschickt genutzt werden können?

Zunächst bietet es sich an die Schaltung umzuformen, damit die eigentliche Struktur sichtbar wird.
Hierzu können die einzelnen Zweige farbig hervorgehoben und als „leitfähiges Gummiband“ interpretiert werden.
Es zeigt sich, dass die beiden Widerstände $R_3$ oben links und unten rechts jeweils kurzgeschlossen sind. Es ergibt sich somit:

Hier hilft es das Potential der Knoten K1, K2 und K3 zu betrachten. Bei K2 müssen dazu die Widerstände $R_2 || R_3 || R_2$ oben und unten jeweils zusammengefasst werden. Es ergeben sich also die gleichen Widerstandswerte oben und unten. Auch bei den Knoten K1 und K2 ergeben sich jeweils die gleichen Widerstandwerte oben wie unten. Mit den jeweils gleichen Verhältnissen der Widerstände bei K1, K2 und K3 lässt sich folgern, dass über die Widerstände $R_3$ zwischen K1 und K2 bzw. K2 und K3 kein Strom fließt. Diese tragen also nicht zum Gesamtwiderstand bei. In einem solchen Fall kann zwischen den relevanten Knoten für die Rechnung ein Kurzschluss oder eine offene Leitung frei gewählt werden. Im folgenden wird eine offene Leitung gewählt. Zusätzlich können die parallelen Stränge noch umsortiert werden.
Damit ergibt sich:

\begin{align*} R_{ges} &= \left( \left( 2 \cdot R_2 \right) || \left( 2 \cdot R_2 \right) \right) \quad && || \quad \left( \left( 2 \cdot R_3 \right) || \left( 2 \cdot R_3 \right) || \left( 2 \cdot R_3 \right) \right) \\ R_{ges} &= R_2 \quad && || \quad \left( R_3 || \left( 2 \cdot R_3 \right) \right) \\ R_{ges} &= R_2 \quad && || \quad \frac{R_3 \cdot 2 R_3}{R_3 + 2 R_3} \\ R_{ges} &= R_2 \quad && || \quad \frac{2}{3}\cdot R_3 \\ R_{ges} &= \frac{R_2 \cdot \frac{2}{3}\cdot R_3}{R_2 + \frac{2}{3}\cdot R_3} = \frac{R_2 \cdot R_3}{\frac{3}{2}\cdot R_2 + R_3} \\ \\ \end{align*}

\begin{align*} R_{ges} &= \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{\frac{3}{2}\cdot 10 \Omega + 20 \Omega} = 5,7143 \Omega -> 5,7 \Omega \\ \end{align*}

Der Teilstrom $I$ ergibt sich direkt aus der Spannung $U_0$: \begin{align*} I &=\frac{U_0}{2 \cdot R_3} \end{align*}

\begin{align*} I =\frac{20V}{2 \cdot 20 \Omega} = 0,5 A \end{align*}

• Wie sehen die Einzelschaltungen aus, durch denen die Wirkungen (Spannung zwischen A und B) der einzelnen Quellen berechenbar wird?
  Durch welchen Ersatzwiderstand muss eine Strom- bzw. eine Spannungsquelle bei der Berechnung der einzelnen Wirkungen ersetzt werden?
• Wo liegen bei der Einzelbetrachtung die Leerlaufspannungen an?

Zunächst müssen die Einzelschaltungen erstellt werden, aus denen die Wirkung der einzelnen Quellen zwischen den Punkten A und B ermittelt werden kann.

(Spannungs)Quelle $U_1$

• Stromquelle $I_2$ durch Kurzschluss ersetzen
• Spannungsquelle $U_3$ durch offene Leitung ersetzen

Werden die Komponenten verschoben, so ist die Schaltung besser zu verstehen:

Es zeigt sich, dass sich im Leerlauffall durch keinen Widerstand Strom fließt. Für die Wirkung gilt also: $U_{AB,1} = U_1$

(Strom)Quelle $I_2$

• Spannungsquelle $U_1$ durch offene Leitung ersetzen
• Spannungsquelle $U_3$ durch offene Leitung ersetzen

Auch hier können Komponenten verschoben werden, um die Schaltung besser zu verstehen:

Hier erzeugt die Stromquelle $I_2$ am Widerstand $R_2$ die Spannung $U_{AB_2}$: $U_{AB,2} = - R_1 \cdot I_2$

(Spannungs)Quelle $U_3$

• Spannungsquelle $U_1$ durch offene Leitung ersetzen
• Stromquelle $I_2$ durch Kurzschluss ersetzen

Ebenso wird auch hier die Schaltung verständlicher durch ein Verschieben der Komponenten:

In dieser Schaltung ergibt sich im Leerlauffall ein unbelasteter Spannungsteiler über $R_3$ und $R_4$. Über den Widerstand $R_1$ fließt im Leerlauf kein Strom.
Es ergibt sich:

\begin{align*} U_{AB,3} = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot U_3 \end{align*}

Resultierende Spannung

\begin{align*} U_{AB} &= U_1 - R_1 \cdot I_2 + \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot U_3 \\ \end{align*}

\begin{align*} U_{AB} &= 2 V - 5 \Omega \cdot 1 A + \frac{10 \Omega}{20 \Omega + 10 \Omega} \cdot 8 V = 0,333... V -> 0,3 V \\ \end{align*}

• Wie Sieht eine lineare Stromquelle aus?
• Wie wird die Last verschalten?

• Im Kurzschlussfall fließt der Kurzschlussstrom nur durch $R_L$
• Für eine Vereinfachung der Rechnung bietet es sich an die lineare Stromquelle in eine lineare Spannungsquelle umzuwandeln.

Die Umwandlung der lineare Stromquelle in eine lineare Spannungsquelle ergibt eine Leerlaufspannung $U_{LL}=R_i \cdot I_{KS}$.
Die Umwandlung wandelt auch die Schaltung von einer Parallelschaltung in eine Reihenschaltung.
Die Spannung $U_{LL}$ liegt also am Spannungsteiler aus $R_i$ und $R_L$: $U_{LL} = U_i + U_L$
Mit dem Lastwiderstand $R_L$ ergibt sich ein Strom von $I_L$ durch die Reihenschaltung.
Mit den gegebenen $R_L$ und $I_L$ lässt sich die Spannung $U_L$ an der Last berechnen.
Die restliche Spannung $U_i$ liegt am Innenwiderstand $R_i$ an, durch den auch der Strom $I_L$ fließt. Somit ergibt sich für den Leitwert $G_i$:

\begin{align*} U_{LL} &= U_i + U_L \\ R_i \cdot I_{KS} &= R_i \cdot I_L + R_L \cdot I_L \\ R_i \cdot I_{KS} - R_i \cdot I_L &= R_L \cdot I_L \\ R_i \cdot (I_{KS} - I_L) &= R_L \cdot I_L \\ R_i &= R_L \cdot \frac{I_L}{I_{KS} - I_L} \\ G_i &= \frac{I_{KS} - I_L}{R_L \cdot I_L} \\ \end{align*}

\begin{align*} G_i &= \frac{5A - 2A}{10 \Omega \cdot 2A} = 0,15 S \\ \end{align*}

\begin{align*} P = R_L \cdot I_L^2 = 10 \Omega \cdot (2A)^2 = 40 W \\ \end{align*}

\begin{align*} R_{20°C} &= \rho_{Cu,20°C} \cdot \frac{l}{A} && | \text{mit } A = r^2 \cdot \pi = \frac{1}{4} d^2 \cdot \pi \\ R_{20°C} &= \rho_{Cu,20°C} \cdot \frac{4 \cdot l}{d^2 \cdot \pi} && \\ R_{20°C} &= 0,0178 \frac{\Omega mm^2}{m} \cdot \frac{4 \cdot 40m}{(0,4mm)^2 \cdot \pi} && \\ \end{align*}

\begin{align*} R_{20°C} &= 5,666 \Omega -> 5,7 \Omega \\ \end{align*}

\begin{align*} R_{90°C} &= R_{20°C} \cdot ( 1 + \alpha_{Cu,20°C} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°C} \cdot \Delta T^2 ) && | \text{mit } \Delta T = T_2 - T_1 = 90°C - 20°C = 70 °C = 70 K\\ \Delta R &= R_{20°C} \cdot ( \alpha_{Cu,20°C} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°C} \cdot \Delta T^2 ) \\ \Delta R &= 5,666 \Omega \cdot ( 0,0039 \frac{1}{K} \cdot 70K + 0,6 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K^2} \cdot (70K)^2 ) \\ \end{align*}

\begin{align*} \Delta R &= 1,56 \Omega -> 1,6 \Omega \\ \end{align*}

• Durch welche Schaltung lässt sich ein geschichteter Aufbau mit unterschiedlichen Dielektrika ersetzen?

Die gesamt Kapazität $C$ lässt sich aufteilen in eine Teilkapazität $C_A$ und eine $C_B$. Diese sind in Reihe geschalten.
Es ergibt sich somit: $C = \frac{C_A \cdot C_B}{C_A + C_B}$

Die Teilkapazität $C_A$ lässt sich berechnen durch \begin{align*} C_A &= \varepsilon_{0} \varepsilon_{r,A} \cdot \frac{A}{d_A} && | \text{mit } A = 3 cm \cdot 5cm = 6 \cdot 10^{-2} \cdot 8 \cdot 10^{-2} m^2 = 48 \cdot 10^{-4} m^2\\ C_A &= 8,854 \cdot 10^{-12} F/m \cdot \frac{48 \cdot 10^{-4} m^2}{1,5 \cdot 10^{-3} m} \\ C_A &= 28,33 \cdot 10^{-12} F \\ \end{align*}

Die Teilkapazität $C_B$ lässt sich berechnen durch \begin{align*} C_B &= \varepsilon_{0} \varepsilon_{r,B} \cdot \frac{B}{d_B} \\ C_B &= 100 \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} F/m \cdot \frac{48 \cdot 10^{-4} m^2}{0,5 \cdot 10^{-3} m} \\ C_B &= 8,500 \cdot 10^{-9} F \\ \end{align*}

\begin{align*} C = 28,24 \cdot 10^{-12} F -> 28pF \end{align*}

• Welche Ersatzschaltung ergibt sich durch die Schalterstellung?
• Durch welche Größen lässt sich $\tau$ bestimmen?
• Wodurch fließt der Ladestrom?

Es ergibt sich eine Reihenschaltung von $R_1$, $R_2$ und $C$, welche durch $U$ gespeist wird. Damit wird die Zeitkonstante $\tau$ zu: \begin{align*} \tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\ \tau &= 180 \Omega \cdot 40 nF \end{align*}

\begin{align*} \tau = 7,2 µs \end{align*}

Es gilt: \begin{align*} U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\ U_C(t) = 10 V \cdot (1 - e^{-10 µs/7,2 µs}) \end{align*}

\begin{align*} U_C(t) = 7,506 V -> 7,5 V \end{align*}

\begin{align*} W_C &= \frac{1}{2}CU^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 40nF \cdot (10V)^2 \end{align*}

\begin{align*} W_C = 2 µJ \end{align*}

Hierbei entlädt sich der Kondensator $C$ über die in Reihe geschalteten Widerstände $R_2$ und $R_3$. \begin{align*} \tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\ \tau &= 130 \Omega \cdot 40 nF \end{align*}

\begin{align*} \tau = 5,2 µs \end{align*}

• Durch die Stromquelle ergibt sich ein kontinuierlicher Fluss an Ladungen in den Kondensator.
• Die Widerstände auf dem Weg sind für den Strom in den Kondensator irrelevant. Sie erhöhen bei einer idealen Stromquelle nur die notwendige Spannung, um den Strom zu treiben.

Die Spannung $U_C$ ergibt sich allgemein über: $U_C = \frac{Q}{C}$. In diesem Fall erzeugt der konstante Strom I die Ladung $Q = \int I dt = I \cdot t$ \begin{align*} U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\ U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\ U_C(1μs) &= \frac{4mA \cdot 1μs}{40nF} = \frac{4 \cdot 10^{-3}A \cdot 1\cdot 10^{-6}s}{40\cdot 10^{-9}F} \\ \end{align*}

\begin{align*} U_C(1μs) &= 1V \\ \end{align*}