Musterlösung Wintersemester 2020/2021

• Welches Feld herrscht in einem Raum vor, der vollständig durch einen leitfähigen Leiter umgeben wird?
• Wie verhält sich das Feld im Inneren eines Leiters?
• Erhöht oder sinkt die Feldstärke, wenn sich eine Ladung sich von einer anderen Ladung wegbewegt?
• Ist das Feld an bei einer Spitze höher oder niedriger?

1. Bei $b$ und $d$ ist kein Feld messbar, da der umgebene Leiter auf einem konstanten Feld liegt. Er ergibt sich keine Potentialdifferenz und damit auch kein Feld.
2. Bei $c$ ist ein Feld (Betrag >0) messbar, welches von der Ladung ($+1C$) zum länglichen Leiter ($-2C$) hinzeigt. Durch die Spitze kommt es zu einer Ladungsüberhöhung und damit zu einem höheren Feld.
3. Bei $a$ ist ein Feld (Betrag >0) messbar, welches von der Ladung ($+1C$) zum länglichen Leiter ($-2C$) hinzeigt.

$ b = d < a < c $

• Welche Gleichung ist für die Kraftwirkung von Ladungen anzuwenden?
• Wie lässt sich der Abstand zwischen den beiden Ladungen ermitteln?

\begin{align*} F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {r^2}}} \quad && | \text{mit } r=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\ F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {\Delta x^2 + \Delta y^2}}} \quad && | \text{Zahlenwerte einsetzen, Abstände ablesen: } \Delta x = 5dm, \Delta y = 3dm \\ F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot 8,854\cdot 10^{-12} F/m}} \cdot {{7 \cdot 10^{-6} C \cdot 5 \cdot 10^{-6} C} \over { (0,5m)^2 + (0,2m)^2}}} \end{align*}

\begin{align*} |F_C| = 1,084 N -> 1,1 N \end{align*}

• Welche Kraftwirkung zeigen gleich bzw. gegensätzlich geladene Körper aufeinander?

Die Kraft ist abstoßend, da beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben.

• Welche Gleichung ist für die Kraftwirkung im homogenen Feld anzuwenden?

\begin{align*} F_C &= E \cdot Q_1 \quad && | \text{Zahlenwerte einsetzen} \\ F_C &= 100 \cdot 10^3 V/m \cdot 7 \cdot 10^{-6} C \end{align*}

\begin{align*} |F_C| = 0,7 N \end{align*}

• Wie müssen die Kräfte vorbereitet werden, dass sie tatsächlich addiert werden können?

\begin{align*} F_0 &= |\vec{F_0}| \quad \quad \text{ mit } \vec{F_0} = \left( \begin{matrix}{F_{x,0}}\\ {F_{y,0}} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \sum\limits_{n} F_{x,0n} \\ \sum\limits_{n} F_{y,0n} \end{matrix} \right) \\ F_0 &= \sqrt{ \left(\sum\limits_{n} F_{x,0n} \right)^2 + \left(\sum\limits_{n} F_{y,0n} \right)^2 } \\ \end{align*}

Die vorhandenen Kräfte müssen in Koordinaten zerlegt werden. Hier empfehlen sich die orthogonalen Koordinaten ($x$ und $y$).
Das Koordinatensystem sei so ausgelegt, dass der Ursprung in $Q_0$ liegt mit der x-Achse in Richtung Q_3 und die y-Achse entsprechend rechtwinklig dazu.
Zur Koordinatenzerlegung sind die Winkel $alpha_{0n}$ der Kräfte zur x-Achse notwendig.
Diese ergeben sich im gewählten Koordinatensystem aus den Koordinaten der Ladungen: $\alpha_{0n} = atan(\frac{\Delta y}{\Delta x})$
$\alpha_{01} = atan(\frac{3}{1})= 1,249 = 71,6°$
$\alpha_{02} = atan(\frac{4}{3})= 0,927 = 53,1°$
$\alpha_{03} = atan(\frac{0}{3})= 0= 0°$

Dann ergeben sich die zerlegten Kräfte zu:

\begin{align*} F_{x,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{x,0n} = F_{0n} \cdot sin(\alpha_{0n}) \\ F_{x,0} &= (-5N) \cdot sin(71,6°) + (-6N) \cdot sin(53,1°) + (+3N) \cdot sin(0°) \\ F_{x,0} &= -2,18 N \\ \\ F_{y,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{y,0n} = F_{0n} \cdot cos(\alpha_{0n}) \\ F_{y,0} &= (-5N) \cdot cos(71,6°) + (-6N) \cdot cos(53,1°) + (+3N) \cdot cos(0°) \\ F_{y,0} &= -9,54 N \\ \\ \end{align*}

\begin{align*} F_0 &= \sqrt{ (-2,18 N)^2 + (-9,54 N)^2 } = 9,79 N -> 9,8 N \\ \end{align*}