Musterlösung Wintersemester 2020/2021

• Welches Feld herrscht in einem Raum vor, der vollständig durch einen leitfähigen Leiter umgeben wird?
• Wie verhält sich das Feld im Inneren eines Leiters?
• Erhöht oder sinkt die Feldstärke, wenn sich eine Ladung sich von einer anderen Ladung wegbewegt?
• Ist das Feld an bei einer Spitze höher oder niedriger?

1. Bei $b$ und $d$ ist kein Feld messbar, da der umgebene Leiter auf einem konstanten Feld liegt. Er ergibt sich keine Potentialdifferenz und damit auch kein Feld.
2. Bei $c$ ist ein Feld (Betrag >0) messbar, welches von der Ladung ($+1C$) zum länglichen Leiter ($-2C$) hinzeigt. Durch die Spitze kommt es zu einer Ladungsüberhöhung und damit zu einem höheren Feld.
3. Bei $a$ ist ein Feld (Betrag >0) messbar, welches von der Ladung ($+1C$) zum länglichen Leiter ($-2C$) hinzeigt.

$ b = d < a < c $

• Welche Gleichung ist für die Kraftwirkung von Ladungen anzuwenden?
• Wie lässt sich der Abstand zwischen den beiden Ladungen ermitteln?

\begin{align*} F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {r^2}}} \quad && | \text{mit } r=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\ F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {\Delta x^2 + \Delta y^2}}} \quad && | \text{Zahlenwerte einsetzen, Abstände ablesen: } \Delta x = 5dm, \Delta y = 3dm \\ F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot 8,854\cdot 10^{-12} F/m}} \cdot {{7 \cdot 10^{-6} C \cdot 5 \cdot 10^{-6} C} \over { (0,5m)^2 + (0,2m)^2}}} \end{align*}

\begin{align*} |F_C| = 1,084 N -> 1,1 N \end{align*}

• Welche Kraftwirkung zeigen gleich bzw. gegensätzlich geladene Körper aufeinander?

Die Kraft ist abstoßend, da beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben.

• Welche Gleichung ist für die Kraftwirkung im homogenen Feld anzuwenden?

\begin{align*} F_C &= E \cdot Q_1 \quad && | \text{Zahlenwerte einsetzen} \\ F_C &= 100 \cdot 10^3 V/m \cdot 7 \cdot 10^{-6} C \end{align*}

\begin{align*} |F_C| = 0,7 N \end{align*}

• Wie müssen die Kräfte vorbereitet werden, dass sie tatsächlich addiert werden können?

\begin{align*} F_0 &= |\vec{F_0}| \quad \quad \text{ mit } \vec{F_0} = \left( \begin{matrix}{F_{x,0}}\\ {F_{y,0}} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \sum\limits_{n} F_{x,0n} \\ \sum\limits_{n} F_{y,0n} \end{matrix} \right) \\ F_0 &= \sqrt{ \left(\sum\limits_{n} F_{x,0n} \right)^2 + \left(\sum\limits_{n} F_{y,0n} \right)^2 } \\ \end{align*}

Die vorhandenen Kräfte müssen in Koordinaten zerlegt werden. Hier empfehlen sich die orthogonalen Koordinaten ($x$ und $y$).
Das Koordinatensystem sei so ausgelegt, dass der Ursprung in $Q_0$ liegt mit der x-Achse in Richtung Q_3 und die y-Achse entsprechend rechtwinklig dazu.
Zur Koordinatenzerlegung sind die Winkel $alpha_{0n}$ der Kräfte zur x-Achse notwendig.
Diese ergeben sich im gewählten Koordinatensystem aus den Koordinaten der Ladungen: $\alpha_{0n} = atan(\frac{\Delta y}{\Delta x})$
$\alpha_{01} = atan(\frac{3}{1})= 1,249 = 71,6°$
$\alpha_{02} = atan(\frac{4}{3})= 0,927 = 53,1°$
$\alpha_{03} = atan(\frac{0}{3})= 0= 0°$

Dann ergeben sich die zerlegten Kräfte zu:

\begin{align*} F_{x,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{x,0n} = F_{0n} \cdot sin(\alpha_{0n}) \\ F_{x,0} &= (-5N) \cdot sin(71,6°) + (-6N) \cdot sin(53,1°) + (+3N) \cdot sin(0°) \\ F_{x,0} &= -2,18 N \\ \\ F_{y,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{y,0n} = F_{0n} \cdot cos(\alpha_{0n}) \\ F_{y,0} &= (-5N) \cdot cos(71,6°) + (-6N) \cdot cos(53,1°) + (+3N) \cdot cos(0°) \\ F_{y,0} &= -9,54 N \\ \\ \end{align*}

\begin{align*} F_0 &= \sqrt{ (-2,18 N)^2 + (-9,54 N)^2 } = 9,79 N -> 9,8 N \\ \end{align*}

• Wie lässt sich die Schaltung besser darstellen bzw. auseinanderziehen?
• Der Schalter sollt dabei durch eine offene Leitung ersetzt werden.

Zunächst bietet es sich an die Schaltung umzuformen, damit die eigentliche Struktur sichtbar wird.
Hierzu können die einzelnen Zweige farbig hervorgehoben und als „leitfähiges Gummiband“ interpretiert werden.
Es ergibt sich somit:

Damit lassen sich $R_3$ und $R_3$ zu $R_{33} = 2 \cdot R_3 = R_1$ zusammenfassen und es ergibt sich so ein linker und ein rechter Spannungsteiler.
Nun ist sichtbar, dass sich im linken und rechten Spannungsteiler das gleiche Potential am jeweiligen Abzweig, bzw. am Knoten K1 (grün) und K2 (pink).

Der Gesamtwiderstand lässt sich also berechnen als $R_{ges} = (2 \cdot R_1)||(2 \cdot R_1)$.
Durch die Symmetrie können aber auch die Knoten K1 und K2 kurzgeschlossen werden. Es gilt also auch $R_{ges} = 2 \cdot \left( R_1||R_1 \right)$.

\begin{align*} R_{ges} &= 2 \cdot \left( 10 \Omega || 10 \Omega \right) = 10 \Omega \end{align*}

Aufgrund der Symmetrie sind die Potentiale an K1 und K2 gleich. Damit fließt selbst bei geschlossenem Schalter kein Strom über den Widerstand $R_2$.
Der Widerstand bleibt also gleich.