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7. Schaltvorgänge an RC-Kombinationen

7.1 Zeitverlauf des Lade- und Entladevorgangs

In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form:

• Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_0$ mit den beiden verbindet.
• Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reichenschaltung von $R$ und $C$ kurzzuschließen.
• Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt.
• Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern Capacitance C und Resistance R den Kapazitätswert $C$ und Widerstandswert $R$ zu verändern.

Aufgaben:

1. Machen Sie sich damit vertraut, wie der Kondensatorstrom $i_C$ und die Kondensatorspannung $u_C$ von der vorgegebenen Kapazität $C$ und dem Widerstand $R$ abhängt.
   Nutzen Sie dazu für $R=\{ 10\Omega, 100\Omega, 1k\Omega\}$ und $C=\{ 1\mu F, 10 \mu F\}$. Wie schnell steigt die Kondensatorspannung $u_C$ jeweils n?
2. Welche Größe ($i_C$ oder $u_C$) ist hier stetig? Warum muss diese stetig sein? Warum muss die andere Größe unstetig sein?

Diese Schaltung wird in Folgenden in zwei einzelne Schaltungen zerlegt, welche nur das Laden bzw. nur das Entladen betrachten.

Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_0$ geladen werden.

• Damit die Spannung $U_0$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen.
• Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom („Ladestrom“) im Stromkreis. Dieser wird nur durch den Widerstand $R$ begrenzt. Der ungeladene Kondensator hat zu dem Zeitpunkt eine Spannung $u_C(t_0)=0V$. Die maximale Spannung $u_R(t_0)=U_0$ liegt am Widerstand an. Der Strom ist $i_C(t_0)={{U_0}\over{R}}$.
• Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$.
• Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$.
• Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator.
• Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_0$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_0$

Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden.
In der Schaltung werden lineare Bauteile genutzt, d.h. die Komponentenwerte für den Widerstand $R$ und die Kapazität $C$ sind unabhängig vom Strom oder der Spannung.
Dann gelten Definitionsgleichungen für den Widerstand $R$ und die Kapazität $C$ auch für zeitlich veränderliche oder infinitesimale Größen:

\begin{align*} R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{du_R}\over{di_R}} = const. \\ C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} = {{dq}\over{du_C}} = const. \tag{7.1.1} \end{align*}

Die folgenden Erklärungen sind auch in diesen beiden Videos zum zum Laden und Entladen gut erklärt.

Laden eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0

Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator.

\begin{align*} U_0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} \end{align*}

Im ersten Augenblick $dt$ fließt durch den Strom $i_C$ ein infinitesimal kleines Ladungs„häppchen“ $dq$ von der Spannungsquelle getrieben durch den Stromkreis.
Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$:

\begin{align*} i_C = {{dq}\over{dt}} \quad \quad \text{und} \quad dq = C \cdot du_C \end{align*}

Aus den beiden Formeln lässt sich der Ladestrom $i_C$ ermitteln:

\begin{align*} i_C = C \cdot {{du_C}\over{dt}} \tag{7.1.3} \end{align*}

Damit wird $(7.1.2)$ zu:

\begin{align*} U_0 &=u_R + u_C \\ &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C \end{align*}

hier folgt etwas Mathematik:

Dieses Ergebnis stellt eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar.
Dieses sollte generell so umgeschrieben werden, dass der (von der Variablen) abhängige Teil auf eine und der Rest auf der anderen Seite steht.
Dies liegt hier schon vor. Der passende Ansatz für ein solches Problem ist:

\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} U_0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ U_0 - \mathcal{C} &= ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\ \end{align*}

Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich 0 werden.
Es gilt also:

\begin{align*} \mathcal{C} = U_0 \\ \\ R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ \end{align*}

Es ergibt sich also:

\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_0 \end{align*}

Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = 0$:

\begin{align*} 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_0 \\ 0 &= \mathcal{A} + U_0 \\ \mathcal{A} &= - U_0 \end{align*}

Die Lösung ist also:

\begin{align*} u_C(t) &= - U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_0 \end{align*}

Und damit ergibt sich: \begin{align*} u_C(t) &= U_0 \cdot (1 - e^{\large{- {{t}\over{R C}}}}) \end{align*}

Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: \begin{align*} i_C(t) &= {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } \end{align*}

In Abbildung 4 sind die beiden Zeitverläufe für die Ladespannung $u_C(t)$ und den Ladestrom $i_C(t)$ des Kondensators dargestellt.

Entladen eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0

Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet:

• Ein auf die Spannung $U_0$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen.
• Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_0$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_0$
• Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$
• Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}{C}}$
• Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen.

Auch dieser Ablauf soll nun im Einzelnen in Formel gefasst werden. Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator summieren sich auf Null.

\begin{align*} 0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \end{align*}

Damit ergibt sich mit $(7.1.3)$:

\begin{align*} 0 =u_R + u_C = R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C \end{align*}

auch hier nutzt etwas Mathematik:

Dieses Ergebnis stellt wieder eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar.
Der passende Ansatz für ein solches Problem ist:

\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} 0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ 0 - \mathcal{C} &= ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\ \end{align*}

Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich 0 werden.
Es gilt also:

\begin{align*} \mathcal{C} = 0 \\ \\ R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ \end{align*}

Es ergibt sich also:

\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} \end{align*}

Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_0$:

\begin{align*} U_0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} \\ U_0 &= \mathcal{A} \\ \mathcal{A} &= U_0 \end{align*}

Und damit ergibt sich: \begin{align*} u_C(t) &= U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C \end{align*}

Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: \begin{align*} i_C(t) &= - {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } \end{align*}

In Abbildung 6 sind wieder die beiden Zeitverläufe dargestellt; diesmal für die Entladespannung $u_C(t)$ und den Entladestrom $i_C(t)$ des Kondensators.
Da Der Strom nun aus dem Kondensator herausfließt, ist das Vorzeichen von $i_C$ negativ.

Periodische Schaltvorgänge

In der Simulation rechts ist ein periodischer Schaltvorgang zu sehen. Dabei wird über den Schalter der Kondensator periodisch ge- und entladen. Dabei sind in der Simulation drei Slider gegeben, um den Widerstand $R$ (Resistance R), die Kapazität $C$ (Capacity C) und die Frequenz $f$ (Frequency f) ändern zu können.
Im Verlauf unten in der Simulation ist die Spannung $u_C$ über den Kondensator in grün und der Strom $i_C$ in gelb dargestellt.

Aufgaben:

1. Erhöhen Sie die die Frequenz auf $f=10kHz$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$?
2. Erhöhen Sie nun zusätzlich die Kapazität auf $C=10 \mu F$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$?
3. Erhöhen Sie nun zusätzlich den Widerstand auf $R= 1 k\Omega$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$?

7.2 Energie eines Kondensators

Es soll nun der Kondensator als Energiespeicher näher betrachtet werden. Laut des Kapitels ermittlung_der_elektrischen_leistung_im_gleichstrom-stromkreis ist die Leistung für konstante Werte (Gleichstom) definiert als:

\begin{align*} P={{\Delta W}\over{\Delta t}} = U \cdot I \end{align*}

Für veränderliche Signale ergibt sich die Momentanleistung als:

\begin{align*} p={{dw}\over{dt}} = u \cdot i \end{align*}

Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $W$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$:

\begin{align*} W = \int_{t0}^t1 dw = \int_{0}^t u \cdot i dt = \int_{0}^t u_C \cdot i_C dt \end{align*}

Beim Ladevorgang gilt

\begin{align*} u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ i_C(t) = {{U_0}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \end{align*}

Insbesondere gilt:

\begin{align*} C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \quad &\rightarrow \quad &q(t) &= {u_C(t)}\cdot{C} \\ i_C(t) = {{d q(t)}\over{dt}} \quad &\xrightarrow{C=konst.} \quad &i_C(t) &= C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} \end{align*}

Damit wird die gespeicherte Energie:

\begin{align*} W &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \\ &= C \cdot \int_{0}^{U} u_C(t) d u_C(t) \\ &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} U^2 \right] _0^U \\ &= C \cdot U^2 \end{align*}

Herleitung der Energieinhalts eines Kondensators

Aufgaben