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2. Simple DC circuits

So far, only simple circuits consisting of a source and a load connected by wires have been considered.
In the following, more complicated circuit arrangements will be analysed. These initially contain only one source, but several lines and many ohmic loads (cf. Abbildung 1).

2.1 ideal components

Every electrical circuit consists of three elements:

1. Consumers: consumers convert electrical energy into energy that is not purely electrical.
   e.g.
   1. into electrostatic energy (capacitor)
   2. into magnetostatic energy (magnet)
   3. into electromagnetic energy (LED, light bulb)
   4. into mechanical energy (loudspeaker, motor)
   5. into chemical energy (charging an accumulator)
2. sources (generators): sources convert energy from another form of energy into electrical energy. (e.g. generator, battery, photovoltaic).
3. wires (interconnections): the wires of interconnection lines link consumers to sources.

These elements will be considered in more detail below.

Consumer

• The colloquial term 'consumer' in electrical engineering stands for an electrical consumer - i.e. a component which converts electrical energy into another form of energy.
• A resistor is often also referred to as a consumer. In addition to pure ohmic consumers, however, there are also ohmic-inductive consumers (e.g. coils in a motor) or ohmic-capacitive consumers (e.g. various power supplies using capacitors at the output). Correspondingly the equation „consumer is a resistor“ is wrong.
• Current-voltage characteristics (vgl. Abbildung 2)
  • Current-voltage characteristics of a load always run through the origin, because without current there is no voltage and vice versa.
  • Ohmic loads have a linear current-voltage characteristic which can be described by a single numerical value.
    The slope in the $U$-$I$-characteristic is the conductance: $I = G \cdot U = {{U}\over{R}}$

Sources

• Sources act as generators of electrical energy
• A distinction is made between ideal and real sources.
  The real sources are described in the following chapter (non-ideal_sources_and_two_pole_networks).

The ideal voltage source generates a defined constant output voltage $U_s$ (in German often $U_q$ for Quellenspannung). In order to maintain this voltage, it can supply any current. The current-voltage characteristic also represents this (see Abbildung 3).
The circuit symbol shows a circle with two terminals. In the circuit, the two terminals are short-circuited.
Another circuit symbol shows the negative terminal of the voltage source as a „thick minus symbol“, the positive terminal is drawn wider.

The ideal current source produces a defined constant output current $I_s$ (in German often $I_q$ for Quellenstrom). For this current to flow, any voltage can be applied to its terminals. The current-voltage characteristic also represents this (see Abbildung 4).
The circuit symbol shows again a circle with two connections. This time the two connections are left open in the circle and a line is drawn perpendicular to them.

wire connection

• The ideal connection line is resistance-free and transmits current and voltage instantaneously.
• Real existing influences (e.g. voltage drop) of connections are considered via separately drawn components (e.g. ohmic resistance).

2.2 Reference-arrow Systems and first consideration of a DC circuit

In the chapter 1. Preparation and Proportions the conventional directional sense of currents and voltages has already been discussed. Unfortunately, with meshed networks it is often not clear ahead of the calculation in which direction the conventional sense of direction of all currents and voltages runs.

In Abbildung 5 such a meshed net is shown. In this circuit a switch $S_1$ and a current $I_2$ are marked. Once the state of the switch is swapped, the direction of the current changes.

Generator and Load (Reference) Arrow System

For the direction of the arrows different conventions are available. Here (and quite often in Germany) the convention of power engineering is used. This convention is

Generator Reference Arrow System

2.3 Nodes, Branches and Loops

Electrical circuits typically have the structure of networks. Networks consist of two elementary structural elements:

1. Branches (German: Zweige): Connections between two nodes
2. Node (German: Knoten): Connection points of several branches

Please note in the case of electrical circuits:

1. Branches contain at least one component.
2. Nodes connect more than two branches and can also be spatially extended.

Branches in electrical networks are also called two-pole. Their behaviour is described by current-voltage characteristics and explained in more detail in the chapter non-ideal_sources_and_two_pole_networks .

In addition, another term is to be explained:

A loop is a closed path in the mesh. This means that a loop begins and ends at the same node and runs over at least one further node.

Since a voltmeter can also be present as a component between two nodes, it is also possible to close a loop by a drawn voltage arrow (cf. $U_1$ in Abbildung 10).

Please keep in mind, that usually the entire behaviour of networked circuits almost always changes when a change occurs in one branch or at one node. This is in contrast to other cause-effect relationships, but comparable to changes in other larger networks, e.g. a traffic jam in the road network, due to which other roads experience a higher load. For electrical engineering, this means that in the case of changing circuits, the focus is often on determining the interrelationships (formulas, current-voltage characteristics) and not on a single numerical value.

Simplifications

With the knowledge of nodes, branches and meshes, circuits can be simplified. Circuits can be reshaped arbitrarily as long as all branches remain at the same nodes after reshaping The Abbildung 11 shows how such a transformation is possible.

For practical tasks, repeated trial and error can be useful. It is important to check afterwards that the same components are connected to each node as before the transformation.

Further examples can be found in the following video

2.4 Kirchhoff's circuit laws

Kirchhoff's current law (Kirchhoff's first law)

The Kirchhoff's current law (Kirchhoff's nodal rule, in German: Knotensatz) formulates in the language of mathematics the experience that no charge „accumulations“ occur in electrical wires. This is of particular relevance at a network node (Abbildung 14). To formulate the equation at this node, the reference arrows of the currents are all set in the same way. That means: all point away from or towards the node.

Parallel connection of resistors

From the Kirchhoff's current law, the total resistance for resistors connected in parallel can be derived (Abbildung 15):

Since the same voltage $U_{ab}$ is dropped across all resistors, using the Kirchhoff's current law:

$\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{substitute}}$

$\rightarrow \large{{{1}\over{R_1}}+ {{1}\over{R_2}}+ ... + {{1}\over{R_n}}= {{1}\over{R_{substitute}} = \sum_{x=1}^{n} {{1}\over{R_x}}$

Thus, for resistors connected in parallel, the equivalent conductance $G_{eq}$ (German: Ersatzleitwert) is the sum of the individual conductances: $G_{eq} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$

In general: the equivalent resistance of a parallel circuit is always smaller than the smallest resistance.

Especially for two parallel resistors $R_1$ and $R_2$ applies: $R_{eq}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$

Current divider

The current divider rule can also be derived from the Kirchhoff's current law.
This states that, for resistors $R_1, ... R_n$ their currents $I_1, ... I_n$ behave just like the conductances $G_1, ... G_n$ through which they flow.

$\large{{I_1}\over{I_g}} = {{G_1}\over{G_g}}$

$\large{{I_1}\over{I_2}} = {{G_1}\over{G_2}}$

Kirchhoff's voltage law (Kirchhoff's second law)

Also the Kirchhoff's voltage law describes in mathematical language another practical experience: Between two points $1$ and $2$ of a network there is only one potential difference. Thus the potential difference is in particular independent of the way a network is traversed between the two points $1$ and $2$. This can be described by considering the meshes.

Proof of Kirchhoff's voltage law

If one expresses the voltage in Abbildung 17 dby the potentials in the nodes, we get: $U_{12}= \varphi_1 - \varphi_2 $
$U_{23}= \varphi_2 - \varphi_3 $
$U_{34}= \varphi_3 - \varphi_4 $
$U_{41}= \varphi_4 - \varphi_1 $

If these voltages are added, this leads to Kirchhoff's voltage law.

$U_{12}+U_{23}+U_{34}+U_{41} = 0$

Series connection of resistors

Using Kirchhoff's voltage law, the total resistance of a series circuit (in German: Reihenschaltung, see <imref FigNo13>) can be easily determined:

$U_1 + U_2 + ... + U_n = U_g$

$R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2 + ... + R_n \cdot I_n = R_{ersatz} \cdot I $

Since in series connection the current through all resistors must be the same - i.e. $I_1 = I_2 = ... = I$ - it follows that:

$R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{eq} = \sum_{x=1}^{n} R_x $

In general: The equivalent resistance of a series circuit is always greater than the greatest resistance..

2.5 Unloaded and loaded voltage divider

The unloaded voltage divider

Especially the series connection of two resistors $R_1$ and $R_2$ shall be considered now. This situation occurs in many practical applications (e.g. potentiometer). In Abbildung 21 this circuit is shown.

Via the Kirchhoff's voltage law we get

$\boxed{ {{U_1}\over{U}} = {{R_1}\over{R_1 + R_2}} }$

The ratio $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$ also corresponds to the position on a potentiometer.

The loaded voltage divider

If - in contrast to the above-mendtioned, unloaded voltage divider - a load $R_L$ is connected to the output terminals (Abbildung 23), this load influences the output voltage.

A circuit analysis yields:

$ U_1 = \LARGE{{U} \over {1 + {{R_2}\over{R_L}} + {{R_2}\over{R_1}} }} }$

or on a potentiometer with $k$ and the sum of resistors $R_s = R_1 + R_2$:

$ U_1 = \LARGE{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}} }} }$

Abbildung 24 shows the ratio of the output voltage $U_1$ to the input voltage $U$ (y-axis), in relation to the ratio $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$. In principle, this is similar to Abbildung 21, but here it has another dimension: multiple graphs are plotted. These differ by the ratio ${{R_s}\over{R_L}}$.

What does this diagram tell us now? This will be shown by an example. First, assume an unloaded voltage divider with $R_2 = 4 k\Omega$ and $R_1 = 6 k\Omega$, and an input voltage of $10V$. Thus $k = 0.6$, $R_s = 10k\Omega$ and $U_1 = 6V$. Now this voltage divider is loaded with a load resistor. If this is at $R_L = R_1 = 10 k\Omega$, $k$ reduces to about $0.48$ and $U_1$ reduces to $4.8V$ - so the output voltage collapses. For $R_L = 4k\Omega$, $k$ becomes even smaller to $k=0.375$ and $U_1 = 3.75V$. If the load $R_L$ is only one tenth of the resistor $R_s=R_1 + R_2$, $k=0.18$ and $U_1=1.8V$. The output voltage of the unloaded voltage divider ($6V$) thus became less than one third.

zeigt in welchem Verhältnis die ausgegebene Spannung $U_1$ zur eingehenden Spannung $U$ steht (y-Achse), in Bezug zum Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$. Prinzipiell gleicht dies der Abbildung 21, hat aber hier noch eine weitere Dimension: Es sind mehrere Graphen eingezeichnet. Diese unterscheiden sich um das Verhältnis ${{R_s}\over{R_L}}$.

Was sagt dieses Diagramm nun aus? Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden. Zunächst wird angenommen, dass ein unbelasteter Spannungsteiler mit $R_2 = 4 k\Omega$ und $R_1 = 6 k\Omega$, sowie eine Eingangsspannung von $10V$ vorliegt. Damit ist $k = 0,6$, $R_s = 10k\Omega$ und $U_1 = 6V$.
Nun wird dieser Spannungsteiler mit einem Lastwiderstand belastet. Liegt dieser bei $R_L = R_1 = 10 k\Omega$, so reduziert sich $k$ auf etwa $0,48$ und $U_1$ auf $4,8V$ - die Ausgangsspannung bricht also ein. Bei $R_L = 4k\Omega$ wird $k$ noch kleiner zu $k=0,375$ und $U_1 = 3,75V$. Ist die Last $R_L$ nur noch ein Zehntel des Widerstandes $R_s=R_1 + R_2$, so wird $k=0,18$ und $U_1=1,8V$. Aus der Ausgangspannung des unbelasteten Spannungsteilers ($6V$) wurde damit weniger als ein Drittel.

2.6 Stern-Dreieck-Schaltung

Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (Abbildung 1). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen bzw. sternförmige Knoten vorhanden sind (Abbildung 28). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden.

Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (Abbildung 29).

Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche?

Auch in für diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen.
Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein.

Dazu sollen nun die verschiedenen Widerstände zwischen den einzelnen Knoten $a$, $b$ und $c$ betrachtet werden, siehe Abbildung 30. Es soll herausgefunden werden wie aus einer Stern-Schaltung eine Dreieck-Schaltung entwickelt werden kann (und umgekehrt).

Dreieckschaltung

Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten.

Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Sternwiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Sternwiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$:

$R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $
$R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} $

Gleiches gilt für die anderen Anschlüssen. Damit ergibt sich:

\begin{align*} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1} \end{align*}

Sternschaltung

Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, diese aber in Sternform. Die Sternwiderstände sind also alle mit einem weiteren Knoten $0$ in der Mitte verbunden: $R_{a0}^1$, $R_{b0}^1$ und $R_{c0}^1$

Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: der Widerstand zwischen zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird ermittelt, der weitere Anschluss ($c$) wird als offen betrachtet. Der Widerstand des weiteren Anschlusses ($R_{c0}^1$) ist nur an einer Seite angeschlossen. Dadurch fließt durch diesen kein Strom - er ist damit nicht zu berücksichtigen. Es ergibt sich:

\begin{align*} R_{ab} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \\ R_{bc} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \\ R_{ca} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.2} \end{align*}

Aus den Gleichungen $(2.6.1)$ und $(2.6.2)$ erhält man:

\begin{align} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \tag{2.6.3} \end{align} \begin{align} R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \tag{2.6.4} \end{align} \begin{align} R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.5} \end{align}

Die Gleichungen $(2.6.3)$ bis $(2.6.5)$ lassen sich nun so geschickt zusammenfassen, dass auf einer Seite nur noch ein Widerstand steht.
Eine Variante ist die Formeln als ${{1}\over{2}} \cdot \left( (2.6.3) + (2.6.4) - (2.6.5) \right)$ bzw. ${{1}\over{2}} \cdot \left(R_{ab} + R_{bc} - R_{ca}\right)$ zu kombinieren. Damit ergibt sich $R_{b0}^1$

\begin{align*} {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} + {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} - {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( R_{a0}^1 + R_{b0}^1 + R_{b0}^1 + R_{c0}^1 - R_{c0}^1 - R_{a0}^1 \right) \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)} + {R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)} - {R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( 2 \cdot R_{b0}^1 \right) \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 R_{ca}^1 + R_{ab}^1 R_{bc}^1 + R_{bc}^1 R_{ab}^1 + R_{bc}^1 R_{ca}^1 - R_{ca}^1 R_{bc}^1 - R_{ca}^1 R_{ab}^1}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= R_{b0}^1 \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{ 2 \cdot R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= R_{b0}^1 \\ {{ R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} &= R_{b0}^1 \\ \end{align*}

Auf ähnlichem Weg kann man nach $R_{a0}^1$ und $R_{c0}^1$, sowie mit etwas abgewandeltem Ansatz auch auf $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ auflösen.

Stern-Dreieck-Transformation

2.7 Gruppenschaltung von Widerständen

In diesem Unterkapitel wird auf eine Methodik eingegangen, welche beim Umformen von Schaltungen helfen soll. In Unterkapitel 2.6 Stern-Dreieck-Schaltung wurde gegen Ende bereits ein Netzwerk so umgeformt, dass es keine dreieckigen Maschen mehr enthält. Nun soll dieses Vorgehen systematisiert werden. Ausgangspunkt sind Aufgaben, bei denen für ein Widerstandsnetzwerk der Gesamtwiderstand, Gesamtstrom oder die Gesamtspannung berechnet werden muss.

einfaches Beispiel

Ein Beispiel für eine solche Schaltung ist in Abbildung ## gegeben. Hier ist $I_0$ gesucht. Dieser Strom kann über die (gegebene) Spannung $U_0$ und den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen $a$ und $b$ ermittelt werden. Gesucht ist also $R_{ab}$.

Wie bereits in den vorherigen Unterkapitel beschrieben, können hier auch Teilschaltung schrittweise in Ersatzwiderstände umgewandelt werden. Wichtig dabei ist, dass diese Teilschaltungen zur Umwandlung in Ersatzwiderstände immer nur zwei Anschlüsse (= zwei Knoten zur „Außenwelt“) haben dürfen.

Abbildung ## zeigt die schrittweise Umwandlung der Ersatzwiderstände an diesem Beispiel.
Als Ergebnis des Ersatzwiderstands erhält man:

\begin{align*} R_g = R_{12345} &= R_{12}||R_{345} = R_{12}||(R_3+R_{45}) = (R_1||R_2)||(R_3+R_4||R_5) \\ &= {{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) }\over{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} +R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}} }} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bigg\rvert \cdot{{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}\over{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}} \\ &= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) \cdot (R_4 + R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\ &= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 \cdot (R_4 + R_5) + R_4 \cdot R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\ \end{align*}

Beispiel mit Dreieck-Stern-Transformation

Mit der Dreieck-Stern-Transformation lässt sich nun auch das anfängliche Beispiel umwandeln. Bei komplizierteren Schaltungen ist die wiederholte Dreieck-Stern-Transformation mit anschließendem Zusammenfassen der Widerstände sinnvoll, solange bis die entstandene Schaltung leicht mit Knoten- und Maschensatz berechenbar wird (Abbildung ##). Hier wird auf eine Rechnung verzichtet - es empfiehlt sich hier mit Zwischenergebnissen für die transformierten Widerständen zu rechnen.

Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung

Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies3 vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden.

Abbildung ## zeigt links ein symmetrischen Aufbau eines Netzwerks aus jeweils gleichen Widerständen $R$. Zum Verständnisgewinn ist in der Mitte in der gleichen Schaltung zusätzlich Schalter und Testpunkte (TP) verbaut, welche die Spannung gegen Masse anzeigen.

Über die Schalter kann nachgeprüft werden, ob ein Strom fließt, falls die jeweiligen Knoten verbunden werden. In der Simulation ist zu sehen, dass dies nicht der Fall ist. Im symmetrischen Aufbau sind diese Knoten jeweils auf dem gleichen Potential.

Damit lässt sich die Schaltung auch in die Form bringen, wie sie in Abbildung ## rechts zu sehen ist. Diese Schaltung ist wiederum leicht berechenbar:

\begin{align*} R_g = R || R + R || R || R || R + R || R || R || R + R || R = {{1}\over{2}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{2}}\cdot R = 1,5\cdot R \end{align*}