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3. Grundschaltungen von Operationsverstärkern I

3.0 Einführung

Historischer Abriss

Um die Herkunft des Operationsverstärkers zu verstehen, soll hier ein kurzer Abriss der Microprozessorhistorie dargestellt werden. Der erste Mikroprozessor wurde 1971 von INTEL als Intel 4004 kommerziell vertrieben, welcher mit einem Word nur einen 4-Bit Zahlenraum darstellen konnte und eine Taktfrequenz von 500 kHz hatte. Dieser wurde bereits nach einem halben Jahr als 8008 auf ein 8-Bit Word erweitert, sodass Rechnungen wesentlich schneller durchgeführt werden konnten. Aus dieser zweiten Generation wurde 1978 der 8086 entwickelt, welcher mit einem 16-Bit Word sehr lange die Grundlage von vielen PCs und anderen Elektronikkomponenten dargestellt hatte. 1985 wurde dieser Prozessor als 80386 auf ein 32-Bit Word erweitert. Aus dieser Zeit stammt auch die vielleicht bekannte Frage, ob Software als x86 oder x64 Code installiert werden soll. Bereits seit 1999 sind Prozessoren mit 64-Bit Word verfügbar, welche aber noch nicht alle Nischen durchdrungen haben.

Mit Blick auf diesen historischen Abriss stellt sich die Frage, wie Apollo 11 die erste Mondmission sowohl die Mondfähre steuern und wie die Bahn so genau berechnet werden konnte, dass dies kein Risiko darstellt. Die Entwicklung des Apollo Gudance Computer wurde bereits 1961 gestartet, also 10 Jahre vor dem ersten kommerziellen Mikroprozessor. Dieser Prozessor konnte mit etwa 1MHz Frequenz und 16-Bit Wordbreite bereits 1966 eine Leistung bereitstellen, welche kommerziell erst 15 Jahre später zur Verfügung war. Trotzdem konnten diese Rechner nicht in vertretbarer Zeit die Differentialgleichungssysteme lösen, welche für die Trajektorienplanung notwendig waren. Dies war nur durch die Vereinigung von dem bekannten digitalen Prozessoren und den schon seit den 1920er Jahren verwendeten Analogrechnern möglich. Analogrechner erinnern nur wenig an das klassische Bild des Rechners. Sie bestehen zwar auch aus einem Netzwerk an Komponenten, besitzen aber keine Software. Vielmehr werden zur Berechnung verschiedene Eigenschaften elektronischer Komponenten genutzt (z.B. das exponentielle Verhalten der Shockley-Gleichung der Diode). Für die Apollomissionen wurde der EAI 380 Hybridrechner verwendet. Dieser und ähnliche Hybridrechner wurden noch bis in die 1990er Jahre eingesetzt um Differentialgleichungssysteme für Luft- und Raumfahrt, Baubranche und (unter etwas anderer Gestalt) auch als Synthesizer in der Musikindustrie eingesetzt. Der interessierte Leser sei auf den Vortrag von Hr. Ulmann über Analogrechner verwiesen, in welchem erklärt wird, warum diese selbst den modernsten Computern überlegen sind.

Der Kernbaustein von Analogrechners ist der Operationsverstärker. Mit diesem ist es möglich Addierer, Subtrahierer, Multiplizierter, Exponenzierer, Integratoren und Differentiatoren aufzubauen und zusammenzufügen. Die „Berechnung“ geschieht, dann fast instantan nach Einstellen der gewünschten Eingangsspannungen.

Der Operationsverstärker hat diese Zeit überdauert und bietet heutzutage eine Ausgangsbasis für unterschiedlichste Signalaufbereitung, wie aktive Filter, Verstärkerstufen, Anpassung von Eingangs-/ Ausgangswiderstand und verschiedene (integrierte) Regelkreise. Bei verschiedenen Mikrocontrollern sind Operationsverstärker direkt eingebaut und können durch geeigneten Code konfiguriert werden. In Abbildung 4 ist ein PIC Microprozessor zu sehen, welcher einen integrierten Operationsverstärker enthält.

3.1 Schaltzeichen und Grundbeschaltung

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Operationsverstärkern bzw. im Allgemeinen mit Messverstärkern. Eine Anwendung dafür ist die Messung von Spannungen, Strömen und Widerständen. Diese müssen in einigen Anwendungen sehr genau bestimmt werden, beispielsweise für eine genaue Temperaturmessung. In diesem Fall ist eine Verstärkung der Messsignale sinnvoll und notwendig.

Diese Verstärkung geschieht durch Messverstärker. Messverstärker müssen einige Eigenschaften erfüllen:

• Messverstärker sollen keine Rückwirkung auf die Messgröße ausüben. Ein Operationsverstärker konkret soll einen möglichst großen Eingangswiderstand besitzen. Damit bricht die zu verstärkende Spannung nicht ein.
• Messverstärker sollen eine hohe Empfindlichkeit besitzen. Ein Operationsverstärker konkret soll eine große Differenzverstärkung $A_D$ aufweisen.
• Messverstärker sollen ein definiertes Übertragungsverhalten zeigen, das heißt das Ausgangssignal soll eindeutig mit dem Eingangssignal zusammenhängen. Ein Operationsverstärker konkret soll einen linearen Zusammenhang zeigen.
• Messverstärker sollen ein gutes dynamisches Verhalten zeigen. Beim Operationsverstärker konkret soll das Ausgangssignal dem Eingangssignal ohne zeitliche Verzögerung folgen.
• Messverstärker sollen ein „eingeprägtes Ausgangssignal“ erzeugen. Das bedeutet, dass die Komponenten am Verstärkerausgang das ausgegebene Signal nicht verändern können. Ein Operationsverstärker konkret soll das gewünschte Ausgangssignal mit dem dafür notwendigen Strom aufrecht erhalten können. Da der Strom $I_A$ (für elektronische Verhältnisse) sehr groß werden kann, bedeutet dies, dass ein Operationsverstärker einen geringen Ausgangswiderstand $R_A =\frac{U_A}{I_A}$ besitzen muss.

Allgemein ist ein Messverstärker wie in Abbildung 5 aufgebaut. Dies wurde bereits im Kapitel 1 Grundlagen zu Verstärkern beschrieben. Im Folgenden werden nur noch Operationsverstärker betrachtet. Ein Operationsverstärker ist ein Messverstärker, welcher häufig in der Elektrotechnik Anwendung findet.

Das Schaltsymbol des Verstärkers ist ein gleichschenkliges Dreieck, an dessen Spitze das Ausgangssignal herrührt und in dessen Basis das Eingangssignal eintritt. In Abbildung 6 sind verschiedene Schaltsymbole zu sehen:

• Schaltsymbol (1): In Blockschaltbildern (nicht zu verwechseln mit Schaltplänen, siehe Kapitel 1) wird dieses Schaltsymbol für allgemeine Verstärker verwendet. Das Eingangssignal tritt in einen Eingang ein und über einen Eingang aus. Dieses Zeichen wird erst wieder in Kapitel 5. zu finden sein.
• Schaltsymbol (2): Nach DIN EN 60617 ist dieses Schaltbild für Operationsverstärker zu nutzen. Es weist mit dem Unendlichzeichen auf die idealerweise unendlich hohe Verstärkung hin. im Folgenden wird dieses Symbol nicht verwendet, da dieses in allen internationalen Schaltungen und Werkzeugen nicht verwendet wird.
• Schaltsymbol (3): Das Schaltsymbol (3) ist das am häufigsten genutzte Symbol für einen Operationsverstärker. Links sind dabei der invertierende Eingang mit der Spannung $U_m$ (minus) und der nicht-invertierende Eingang mit $U_p$ (plus) zu finden. Rechts ist der Ausgang mit der Spannung $U_A$ dargestellt.
• Schaltsymbol (4): Das Schaltsymbol (4) sind zusätzlich die Versorgungsspannungen $U_{sp}$ (supply plus) und $U_{sm}$ (supply minus) mit eingezeichnet. Aus der Versorgung wird die Leistung für die ausgegebene Spannung des Operationsverstärkers bereitgestellt.
• Schaltsymbol (5) und (6): Diese Symbole zeigen keine Operationsverstärker. Diese Symbole zeigen das NOT-Gatter und das Tri-State-Gatter. Beide Komponenten sind bereits in Grundlagen der Digitaltechnik besprochen worden. Leider ist die Darstellung dieser Digitalkomponenten in verschiedenen Schaltungen dem Operationsverstärker nicht unähnlich. Ein Beispiel dazu sind die Transceiver¹⁾ SP3481 oder SP3485. Wenn digitale Eingangswerte betrachtet werden, ist davon auszugehen, dass das Schaltsymbol keinen Operationsverstärker darstellt.

3.2 Grundgleichung / goldene Regeln

Der Operationsverstärker ist ein Spannungsverstärker. Damit ergeben sich aus Kapitel idealisierte Verstärkergrundtypen, dass für den idealen Fall der Eingangswiderstand unendlich und der Ausgangswiderstand $R_A=0$ sein muss.

Die Abbildung 8 zeigt einen idealen Spannungsverstärker. Diese ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:

• Eingangswiderstand: In der Abbildung ist die Eingangsseite eingezeichnet. Als Widerstand wird hier der Differenzwiderstand $R_D$ angegeben, an dem die Differenzspannung $U_D$ abfällt. Es gilt also $R_D \rightarrow \infty$. Damit gehen die Eingangsströme $I_p \rightarrow 0$ und $I_m \rightarrow 0$.
• Ausgangswiderstand, Grundgleichung: Auf der Ausgangsseite ergibt sich mit $R_A=0$, dass $U_A = A_D\cdot U_D$ ist. Dies ist die Grundgleichung der Verstärkerschaltung. Im Idealfall verstärkt der Operationsverstärker linear, wie in der Gleichung angegeben. Speziell für eine Differenzspannung von $0V$ ergibt sich eine Ausgangsspannung von $0V$
• Spannungsverstärkung: Aus dem Kapitel Rückkopplung ist bekannt, dass $A_D$ sehr groß sein muss. Im Idealfall gilt: $A_D \rightarrow \infty$

Diese Regeln haben im realen Verstärker verschiedene Grenzen:

• $\boldsymbol{U_A = A_D \cdot U_D}$:
  • Die Ausgangsspannung kann nur soweit der Eingangsspannung folgen, wie es die Spannungsversorgung zulässt. Bei realen Operationsverstärkern können nur sogenannte Rail-to-Rail Operationsverstärker den Bereich bis auf wenige $100mV$ zu $U_S$ ausnutzen. Andere Operationsverstärker haben eine Aussteuergrenze, welche vom Betrag $1...2V$ unterhalb der Versorgungsspannung liegt.
  • Sind die Versorgungsspannungen nicht symmetrisch ($U_{sm} \neq -U_{sp}$), dann verschiebt sich auch die Kennlinie.
  • Der ideale Operationsverstärker erzeugt die gleiche Ausgangsspannung $U_A=A_D \cdot U_D$, solange $U_D = U_p - U_m$ gleich ist. Beim realen Operationsverstärker mit festem $A_D$ unterscheidet sich Ausgangsspannung $U_{A1}$ für $U_{D1}=5V - 4,9V$ von $U_{A2}$ für $U_{D1}=0,1V - 0V$.
• $\boldsymbol{A_D}$: Die Differenzverstärkung liegt üblicherweise zwischen $A_D = 20'000 ... 400'000$.
• $\boldsymbol{R_D}$: Bei realen Operationsverstärkern ist der Eingangswiderstand $R_E > 1 M\Omega$ und der Eingangsstrom $|I_p|$ bzw. $|I_m|$ unter $1 \mu A$
• $\boldsymbol{R_A}$: Bei realen Operationsverstärkern ist der Ausgangswiderstand $R_A$ meist einige $\Omega$ groß und durch eine maximalen Strom (im Bereich von einigen Dutzend $mA$ bis wenige $A$) begrenzt

Der Operationsverstärker In der Simulation unten bildet in einigen Punkten einen realen Operationsverstärker nach: Der Die Spannungsverstärkungs beträgt $A_D = 100'000$. Die Übertragungskennlinie $U_A(U_D)$ zeigt nur dann ein proportionales Verhalten, wenn der ausgegebene Wert betragsmäßig kleiner als die (nicht abgebildete) Versorgungsspannung $|U_{sp}|=|U_{sm}|=15V$ ist. Die Aussteuergrenzen und die Spannungsverstärkung lassen sich in der Simulation über „Bauteil bearbeiten“ (Doppelklick) verändern.

Spannungsversorgung des Operationsverstärkers

Bei der Spannungsversorgung des Operationsverstärkers wird zwischen unipolar und bipolar unterschieden:

Bei der bipolaren Spannungsversorgung wird betragsmäßig die gleiche Spannung mit unterschiedlichem Vorzeichen an beide Versorgungsanschlüsse gegeben (Abbildung 9 (1)). Die Ausgangsspannung $U_A$ des Verstärkers kann dadurch in beide Richtungen zeigen (Abbildung 9 (2)). Die Spannungsversorgung muss dabei so gestaltet sein, dass sie die beiden Spannungen bereitstellen kann. Bei einer Differenzspannung von $U_D=0$ ergibt sich auch eine Ausgangsspannung von $U_A=0$.

Bei der unipolaren Spannungsversorgung liegt der negative Versorgungsanschluss auf Masse (Abbildung 9 (3)). Dadurch kann die Ausgangsspannung $U_A$ des Verstärkers nur nicht-negative Werte annehmen (Abbildung 9 (4)). Die Versorgung kann in diesem Fall durch eine einzige Spannungsquelle (z.B. eine Batterie) erfolgen. Bei einer Differenzspannung von $U_D=0$ ergibt sich eine Ausgangsspannung von $U_A=\frac{1}{2}\cdot U_{sp}$.

3.3 Spannungsfolger

Im Kapitel Rückkopplung wurde beschrieben, dass ein Verstärker mit hoher open-loop Verstärkung durch das Zurückführen eines Teils des Ausgangssignals mit negativem Vorzeichen „gebändigt“ werden kann. Im einfachsten Fall könnte das Ausgangssignal direkt auf den negativen Eingang des Operationsverstärkers gegeben werden. Am positiven Eingang wird das Eingangssignal $U_E$ der gesamten Schaltung angelegt. In Abbildung 10 ist diese Schaltung abgebildet.

Anhand dieser Schaltung soll nun das Vorgehen zum Lösen von Verstärkerschaltungen dargestellt werden.

1. Ziel ist immer einen Bezug zwischen Ausgangsspannung $U_A$ und Eingangsspannung $U_E$ zu schaffen.
   Daraus ergibt sich hier als Ziel die Spannungsverstärkung $A_V=\frac{U_A}{U_E}$.
2. Bevor gerechnet wird, sollte geprüft werden, wieviele Gleichungen das System beschreiben und damit aufgestellt werden müssen. Dies lässt sich über die Anzahl der Variablen ermitteln. Dazu werden die Ströme und Spannungen der Schaltung durchgezählt.
   In diesem Fall sind es 3 Ströme und 3 Spannungen. Die Anzahl der benötigten Gleichungen ist also 6.
3. Nun werden Gleichungen aufgestellt, die verwendet werden können. Dazu dienen:
   1. Grundgleichung: (1) $U_A = U_D \cdot A_D$
   2. Goldene Regeln: $R_D \rightarrow \infty$ damit (2+3) $I_p = I_m = 0$, $A_D \rightarrow \infty$, $R_A = 0$
   3. Betrachtung der vorhandenen Maschen:
      in diesem Beispiel gibt es nur eine Masche (4) $-U_E + U_D + U_A =0 $.
      Achtung: Maschen können nicht durch einen Eingang in den Verstärker ein und durch den Ausgang austreten! Zu beachten ist auch die Richtung von $U_D$.
   4. Betrachtung der vorhandenen Knoten:
      in diesem Beispiel gibt es nur einen Knoten (5) $I_o = I_m$
4. Es scheint eine Gleichung zu fehlen. Dies ist aber nicht richtig, denn im Ziel verbirgt sich noch eine Gleichung: (0) $A_V=\frac{U_A}{U_E}$
5. Zum Lösen der Gleichungen müssen nun die Gleichungen so geschickt ineinander eingesetzt werden, dass am Ende keine Abhängigkeiten von den Variablen mehr vorhanden ist.

Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts „►“ führt zum nächsten Schritt, alternative Darstellung):

Die Spannungsverstärkung ist also $A_V=1$. Dies wäre auch aus Kapitel Rückkopplung zu sehen gewesen. Dort wurde hergeleitet, dass sich für $A_D\rightarrow\infty$ die Spannungsverstärkung gerade aus $k$ ergibt: $A_V=\frac{1}{k}$. Da hier die gesamte Ausgangsspannung zurückgekoppelt wird, ist $k=1$ und damit auch $A_V=1$.

Die Ausgangsspannung $U_A$ gleicht also der Eingangsspannung $U_E$. Daher rührt auch der Name „Spannungsfolger“. Man könnte nun annehmen, dass dieser Verstärker wenig hilft, denn auch eine direkte Verbindung würde $U_A=U_E$ liefern. Wichtig hier ist aber: Durch den Operationsverstärker gibt es keine Rückwirkung von U_A auf U_E. Dies bedeutet, dass ein Widerstand auf der Ausgangsseite die Eingangsseite nicht belastet. In der Simulation rechts kann durch den Slider „Resistance“ (rechts) der Lastwiderstand geändert werden. Dadurch ändert sich zwar der Stromfluss, aber nicht die Spannung.

Dieses Verhalten lässt sich auch anders erklären: Das Eingangssignal kommen meist aus einer Spannungsquelle, welche nur geringe Ströme erzeugen kann. Das heißt die Eingangssignale sind hochohmig ($\text{hochohmig}=\frac{\text{Spannung}}{\text{kleinen Strom}}$). Am Ausgang kann aber eine Last beliebiger Impedanz anliegen. Das heißt, um das Ausgangssignal konstant zu halten, muss je nach Last ein großer Strom bereitgestellt werden. Da der Ausgangswiderstand das Verstärkers gegen 0 geht, ist das Signal tatsächlich niederohmig ($\text{niederohmig}=\frac{\text{Spannung}}{\text{u.U. großen Strom}}$). Daher rührt auch der zweite Name der Schaltung „Impedanzwandler“.

3.4 Nichtinvertierender Verstärker

Bisher wurde die gesamte Ausgangsspannung gegengekoppelt. Nun soll nur ein Teil der Spannung zurückgeführt werden. Dazu kann die Ausgangsspannung über einen Spannungsteiler $R_1+R_2$ verringert werden. Die Schaltung dazu ist in Abbildung 11 zu sehen.

Über die Betrachtung der Rückkopplung kann auch hier das Ergebnis schnell hergeleitet werden: von der Ausgangsspannung $U_A$ wird nur $\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U_A$ zurückgeleitet. Der Rückkoppelfaktor ist also $k=\frac{R_2}{R_1+R_2}$ und damit wird die Spannungsverstärkung $A_V=\frac{R_1+R_2}{R_2}$.

Dieser „Trick“ über $A_V=\frac{1}{k}$ ist bei einigen der folgenden Schaltungen nicht mehr möglich. Entsprechend soll auch hier eine mögliche Lösung über die Netzwerkanalyse hergeleitet werden.

Abb. 11: Nichtinvertierender Verstärker

Die Rechnung ist hier noch einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts „►“ führt zum nächsten Schritt, alternative Darstellung):

Die Spannungsverstärkung des nicht invertierenden Verstärkers ist also $A_V=\frac{R_1+R_2}{R_2}$ bzw. $A_V=1+\frac{R_1}{R_2}$. Der Zahlenwert $A_V$ kann also nur größer als 1 werden. In der Simulation rechts ist dies nochmals dargestellt. In realen Schaltungen werden die Widerstände $R_1$ und $R_2$ im Bereich zwischen einigen $100 \Omega$ und wenigen $M\Omega$ liegen. Ist die Summe der Widerstände zu klein, wird der Operationsverstärker stark belastet. Der Ausgangsstrom darf aber den Maximalstrom nicht überschreiten. Ist die Summe der Widerstände zu groß, kann der Strom $I_1=I_2$ in den Bereich des Strom $I_m$ kommen, welcher im realen Operationsverstärker vorhanden ist.

Es soll hier auch der Eingangs- und Ausgangswiderstand der gesamten Schaltung betrachtet werden. Beide Widerstände werden hier mit einer hochgestellten 0 gekennzeichnet, um diese vom Eingangs- und Ausgangswiderstand des Operationsverstärkers zu unterscheiden. Der Eingangswiderstand $R_{E}^0$ ist gegeben durch $R_{E}^0=\frac{U_E}{I_E}$ mit $I_E=I_p$. Für den idealen Operationsverstärker gilt also auch, dass der Eingangswiderstand $R_{E}^0=\frac{U_E}{I_p} \rightarrow \infty$ wird, wenn $I_p \rightarrow 0$.

Im realen Fall ist wichtig, in wiefern der gesamte Eingangswiderstand vom Eingangswiderstand des Operationsverstärkers abhängt $R_{E}^0(R_D)$. Dies lässt sich folgendermaßen ableiten: (der Klick auf Pfeil nach rechts „►“ führt zum nächsten Schritt, alternative Darstellung):

Es lässt sich also vereinfachend mitnehmen, dass der Eingangswiderstand der gesamtem Schaltung um ein Vielfaches höher ist, als der des Operationsverstärkers. Der Ausgangswiderstand $R_A^0$ der gesamten Schaltung mit realen Operationsverstärkern soll nur skizziert werden: In diesem Fall ist der Ausgangswiderstand $R_A$ des Operationsverstärkers parallel zu $R_1 + R_2$. Damit wird der Ausgangswiderstand $R_A^0$ etwas kleiner sein, als $R_A$.

3.5 Invertierender Verstärker

Die Schaltung des invertierenden Verstärkers lässt sich aus der des nichtinvertierenden Verstärkers ableiten (siehe Abbildung 13). Hierzu betrachtet man zunächst den nichtinvertierenden Verstärker als ein System mit 3 Anschlüssen (bzw. als Vierpol): $U_E$, $GND$ und $U_A$. Diese Anschlüsse können - unter Beibehaltung des Ausgangsanschlusses $U_A$ - umsortiert werden. Damit liegt der Spannungsteiler $R_1 + R_2$ nun nicht mehr zwischen $U_A$ und $GND$, sondern zwischen $U_A$ und $U_E$, siehe Abbildung 12.

Bei dieser Schaltung wird der Widerstand $R_2$ auch als Gegenkopplungswiderstand bezeichnet.

Bevor die Spannungsverstärkung ermittelt wird, soll zunächst der Knoten $K1$ in Abbildung 12 betrachtet werden. Dieser ist gerade um die Spannung $U_D$ größer als das Massepotential; er liegt also auf der Potentialdifferenz $U_D$. Bei einem rückgekoppelten Verstärker mit endlicher Spannungsversorgung kann $U_A$ nur endlich sein und damit geht $U_D= U_A / A_D \rightarrow 0$ (vgl. Grundgleichung des Operationsverstärkers), da $A_D \rightarrow \infty$ gilt. Damit ist ersichtlich, dass der Knoten $K1$ beim idealen Operationsverstärker immer auf Massepotential liegt. Diese Eigenschaft nennt man virtuelle Masse, da kein direkter Kurzschluss zu Masse besteht. Vielmehr regelt der Operationsverstärker seine Ausgangsspannung $U_A$ gerade so, dass das der Spannungsteiler dadurch gerade am Knoten $K1$ ein Potential von $0V$ einstellt. Dies ist auch in der Simulation durch den Spannungsverlauf an $K1$ zu sehen.

Für die Ermittlung der Spannungsverstärkung scheint hier die Betrachtung der Rückkopplung $A_V=\frac{1}{k}$ zunächst wenig zu bringen. Stattdessen ist aber die Ermittlung über Netzwerkanalyse möglich. Abbildung 12 zeigt dazu eine mögliche Variante die Maschen zu wählen. Die Netzwerkanalyse soll hier jedoch nicht erfolgen, sondern ist als Aufgabe 3.5.1 unten angegeben.

Stattdessen soll hier zwei andere Arten der Herleitung gezeigt werden, um weitere Herangehensweisen näher zu bringen. Für die erste Herleitung wird der Spannungsteiler $\boldsymbol{R_1 + R_2}$ betrachtet. Beim unbelasteten Spannungsteiler gilt allgemein:

\begin{align*} U_2 = U_{12} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \end{align*}

Diese Gleichung soll nun für die konkrete Verwendung angepasst werden. Zunächst Abbildung 12 lassen sich die Spannungen des Spannungsteilers wie in Abbildung 14 angegeben, ablesen. Daraus ergibt sich mit der allgemeinen Spannungsteiler-Formel:

\begin{align*} U_2 = ( U_E - U_A ) \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \end{align*}

Mit der virtuelle Massen am Knoten $K1$ in Abbildung 14 gilt, dass $U_2$ von der (virtuellen) Masse wegzeigt und damit betragsmäßig $U_A$ gleicht. Durch die gleiche Argumentation gilt $U_E = U_1$. Es ergibt sich also:

\begin{align*} - U_A = ( U_E - U_A ) \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \end{align*}

Und daraus:

Für eine zweite Herleitung soll der Stromfluss durch die Widerstände $R_1$ und $R_2$ des unbelasteten Spannungsteilers betrachtet werden. Diese beiden Ströme $I_1$ und $I_2$ sind gerade gleich. Damit gilt:

\begin{align*} I_\boxed{}=\frac{U_\boxed{}}{R_\boxed{}}=const. \quad \text{mit} \: \boxed{}=\{1,2\} \end{align*}

bzw.

\begin{align*} \frac{U_1}{R_1}=\frac{U_2}{R_2} \end{align*}

Dies lässt sich auch über ähnliche Dreiecke in eine „Wippe“ bzw. ein mechanisches Analogon umwandeln. Im mechanischen Analogon sind die Potentiale über die Höhe gegeben. Wie im elektrischen Fall mit dem Massepotential muss im mechanischen Bild eine Höhenbezugsebene gewählt werden. Die elektrischen Ströme entsprechen Kräfte (also einem Impulsfluss) - die Betrachtung der Kräfte ist hier aber nicht notwendig. ²⁾.

Wird nun eine bestimmte Höhe (Spannung $U_E$) eingestellt, so ergibt sich über Kraftarm (Widerstand $R_1$) und Lastarm (Widerstand $R_2$) eine bestimmte Höhe auf der rechten Seite (Spannung $U_A$). Dies ist in Abbildung 15 oben dargestellt. In der Abbildung können alle rot markierten Punkte () manipuliert werden. Entsprechend ist die Eingangsspannung $U_E = U_{in}$ einstellbar und ergibt automatisch eine Spannung $U_A=U_{out}$. In der Schaltung (Abbildung unten) können die Widerstände $R_1$ und $R_2$ geändert werden.

Der Eingangswiderstand der gesamten Schaltung $R_E^0=\frac{U_E}{I_E}$ ergibt sich leicht aus der Betrachtung der Eingangsseite: Da $K1$ auf $0V$ liegt, ist $U_1 = U_E$. Der komplette in den Eingang einfließende Strom durchquert den Widerstand $R_1$. Es gilt dann also, dass er Eingangswiderstand $R_E = R_1$ ist. Beim Ausgangswiderstand der gesamten Schaltung $R_A^0$ ergibt sich wieder eine Parallelschaltung zwischen dem Ausgangswiderstand des Operationsverstärkers $R_A$ und dem Widerstand $R_2$. Der Ausgangswiderstand wird also etwas kleiner sein als der Ausgangswiderstand des Operationsverstärkers $R_A$.

Aufgaben

120ms, 0
160ms, 0.1m
200ms, 0
260ms, 0
270ms, -0.2m
320m,1m
340m,-0.3m
350m,0
440ms,0
520ms,0.1m
600ms, 0
820ms, 0
860ms, 0.1m
900ms, 0
960ms, 0
970ms, -0.2m
1020m,1m
1040m,-0.3m
1050m,0
1140ms,0
1220ms,0.1m
1300ms, 0
1400ms, 0

Lernfragen

• Erklären Sie den Unterschied zwischen unipolarer und bipolarer Spannungsversorgung eines OPV.
• Zeichnen Sie eine Skizze für bipolarer und eine für unipolare Spannungsversorgung.
• Welche Vor- und Nachteile haben uni- und bipolare Versorgung bei OPV?
• Was bedeutet „virtuelle Masse“? Unter welchen Umständen ist diese in Operationsverstärker-Schaltungen zu finden?
• Wie lauten die goldenen Regeln bei gegengekoppelten Verstärkerschaltungen?
• Wie lautet die Grundgleichung bei gegengekoppelten Verstärkerschaltungen?
• Wofür werden Impedanzwandler eingesetzt?
• Wie verhält sich die Eingangsspannung zu der Ausgangsspannung bei einem Impedanzwandler und warum?
• Was bedeutet „Spannungsfolger“ im Zusammenhang mit Operationsverstärkern und was sind die Eigenschaften des Spannungsfolgers?

Referenzen zu den genutzten Medien

Element	Lizenz	Link
Abbildung 4: Bild mit internem Operationsverstärker	(c) Microchip	http://ww1.microchip.com/downloads/en/appnotes/90003132a.pdf

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¹⁾ „transmitter und receiver“, also Sender-Empfänger, bzw. Schnittstellenadapter

²⁾ Um das mechanische Analogon des Aufbaus zu komplettieren, kann man annehmen, dass es eine äußere „Kraftquelle“ gibt. Dieser agiert stets so, dass er dem der virtuellen Masse entsprechenden Punkt immer auf der Höhenbezugsfläche landet.